Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.
Untuk bagian kedua pembahasan kali ini, kami menuliskan pembahasan soal uJIAN Nasional (UN) matemtaika ipa tahun 2014 nomor 6 sampai 10. Konsep persamaan dan fungsi kuadrat digunakan pada pembahasan soal nomor 6 dan nomor 7 tentang operasi akar-akar dan jenis akar-akar. Sementara untuk nomor 8 dan 9 menggunakan konsep perbandingan dan lingkaran, yang mana pada lingkaran erdapat banak rumus-rumus yang harus dihafal oleh siswa. Dan untuk soal nomor 10 tentang suku banyak yang penyelesaiannya butuh trik khusus.

Untuk pembahasan lengkap soal Ujian Nasional (UN) Matematika IPA tahun 2014 nomor 6 sampai 10, berikut pembahasannya. Selamat belajar.

Nomor 6

Akar-akar persamaan kuadrat

$2x^2+mx+16=0$ adalah

$\alpha$ dan

$\beta$ . Jika

$\alpha = 2\beta$ dan

$\alpha , \beta$ positif, maka nilai

$m=...$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\beta$ :

$\alpha = 2 \beta$ ....pers(i)

$\alpha . \beta = \frac{c}{a} \Rightarrow \alpha . \beta = \frac{16}{2} \Rightarrow \alpha . \beta = 8$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :

$\begin{align*} \alpha . \beta &= 8 \\ 2\beta . \beta &= 8 \\ \beta ^2 &= 4 \\ \beta &= \pm 2 \\ \text{yang memenuhi } \, \beta &=2 \, \, \text{(akar positif)} \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Substitusi nilai

$\beta = 2$ ke pers kuadrat :

$\begin{align*} 2x^2+mx+16 & =0 \\ 2(2)^2+m.2+16&=0 \\ 2m &= -24 \\ m&=-12 \end{align*}$
Jadi, nilai

$m=-12. \heartsuit$

Nomor 7

Persamaan kuadrat dari

$x^2-2px-p+2=0$ mempunyai dua akar yang sama. Nilai

$p$ yang memenuhi adalah ...

$\clubsuit \,$ Syarat dua akar sama atau kembar :

$D = 0$

$\begin{align*} D & = 0 \\ b^2-4ac&=0 \\ (-2p)^2-4.1.(-p+2)&=0 \\ 4p^2+4p-8&=0 \, \text{(bagi 4)} \\ p^2+p-2 &= 0 \\ (p+2)(p-1)&=0 \\ p=-2 \, \text{atau} \, p=1 \end{align*}$
Jadi nilai

$p$ adalah -2 dan 1.

$\heartsuit$

Nomor 8

Empat tahun yang lalu umur Andi

$\frac{1}{2}$ umur Dani. Empat tahun yang akan datang umur Andi

$\frac{3}{4}$ umur Dani. Umur Dani sekarang adalah ...

$\spadesuit \,$ Misalkan , umur Andi sekarang A tahun, dan umur Dani sekarang D tahun :

$\spadesuit \,$ Empat tahun yang lalu :

$\begin{align*} \text{umur Andi} \, &= \frac{1}{2} \, \text{umur Dani} \\ (A-4) &= \frac{1}{2} . (D-4) \Rightarrow A = \frac{1}{2} D +2 \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Empat tahun yang akan datang :

$\begin{align*} \text{umur Andi} \, &= \frac{3}{4} \, \text{umur Dani} \\ (A+4) &= \frac{3}{4} . (D+4) \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :

$\begin{align*} (A+4) &= \frac{3}{4} . (D+4) \, \, \text{...pers(ii)} \\ (\frac{1}{2} D +2+4) &= \frac{3}{4} . (D+4) \, \, \text{(kali 4)} \\ 2D+8+16 &= 3D +12 \\ D&= 12 \end{align*}$
Jadi, umur Dani sekarang adalah 12 tahun.

$\heartsuit$

Nomor 9

Persamaan garis singgung pada lingkaran

$2x^2+2y^2-4x+8y-8=0$ yang sejajar dengan garis

$5x+12y-15=0$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Menentukan unsur-unsur lingkaran :

$\begin{align*} 2x^2+2y^2-4x+8y-8&=0 \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2+y^2-2x+4y-4&=0 \Rightarrow A=-2 , B=4, C=-4 \\ a=\frac{-A}{2} \Rightarrow a &= \frac{-(-2)}{2}=1 \\ b=\frac{-B}{2} \Rightarrow b &= \frac{-4}{2}=-2 \\ \text{Pusat} (1,-2) & \\ r=\sqrt{a^2+b^2-C} \Rightarrow r &= \sqrt{1^2+(-2)^2-(-4)}=3 \\ \text{jari-jari :} \, r &= 3 \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis

$5x+12y-15=0$ (karena sejajar):

$5x+12y-15=0 \Rightarrow m=\frac{-5}{12}$

$\clubsuit \,$ Persamaan garis singgung (PGS) :

$\begin{align*} y-b &=m(x-a)\pm r \sqrt{1+m^2} \\ y+2 &=\frac{-5}{12}(x-1)\pm 3\sqrt{1+\left( \frac{-5}{12} \right)^2} \\ y+2 &=\frac{-5}{12}(x-1)\pm \frac{39}{12} \, \, \, \text{(kali 12)} \\ 12y+24 &=-5x+5\pm 39 \\ 12y+24 =-5x+5 + 39 \, &\text{atau} \, 12y+24 =-5x+5 - 39 \\ 5x+12y-20=0 \, &\text{atau} \, 5x+12y+58=0 \end{align*}$
Jadi, PGS nya :

$5x+12y-20=0 \, \text{dan} \, 5x+12y+58=0 .\heartsuit$

Nomor 10

Suku banyak berderajat 3, jika dibagi

$(x^2+2x-3)$ bersisa

$(3x-4)$ , jika dibagi

$(x^2-x-2)$ bersisa

$(2x+3)$ . Suku banyak tersebut dalah ...

$\spadesuit \, f(x)$ dibagi

$g(x)$ , menghasilkan

$h(x)$ dan sisanya

$s(x)$
ditulis :

$f(x)=h(x).g(x)+s(x)$

$\spadesuit \, f(x)$ dibagi

$(x^2+2x-3)$ , menghasilkan

$(x+a)$ dan sisanya

$(3x-4)$

$\begin{align*} f(x)&=(x+a).(x^2+2x-3)+(3x-4) \\ f(x)&=x^3+(a+2)x^2+2ax-3a-4 \, \, \, \text{...pers(i)} \\ \end{align*}$

$\spadesuit \, f(x)$ dibagi

$(x^2-x-2)$ , menghasilkan

$(x+b)$ dan sisanya

$(2x+3)$

$\begin{align*} f(x)&=(x+b).(x^2-x-2)+(2x+3) \\ f(x)&=x^3+(b-1)x^2-bx-2b+3 \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Pers(i) sama dengan pers(ii) :

$\begin{align*} x^3+(a+2)x^2+2ax-3a-4 &= x^3+(b-1)x^2-bx-2b+3 \\ 2a=-b &\Leftrightarrow b=-2a \\ b-1=a+2 &\Leftrightarrow (-2a)-1=a+2 \Leftrightarrow a=-1 \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Substitusi nilai

$a=-1$ ke pers(i) :

$\begin{align*} f(x)&=x^3+(a+2)x^2+2ax-3a-4 \\ f(x)&=x^3+(-1+2)x^2+2.(-1)x-3.(-1)-4 \\ f(x)&=x^3+x^2-2x-1 \end{align*}$
Jadi, suku banyaknya adalah

$x^3+x^2-2x-1. \heartsuit$

Cara II

$\spadesuit \, f(x)$ dibagi

$(x^2+2x-3)$ bersisa

$(3x-4)$

$\frac{f(x)}{(x^2+2x-3)}= \frac{f(x)}{(x-1)(x+3)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f(1)=3.1-4=-1 \\ f(-3)=3.(-3)-4=-13 \end{array} \right.$

$\spadesuit \, f(x)$ dibagi

$(x^2-x-2)$ bersisa

$(2x+3)$

$\frac{f(x)}{(x^2-x-2)}= \frac{f(x)}{(x-2)(x+1)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f(2)=2.2+3=7 \\ f(-1)=2.(-1)+3=1 \end{array} \right.$

Artinya substitusi

$x=1$ ke opsi dan hasilnya harus -1 , dan yang hasilnya -1 hanya opsi B yaitu

$x^3+x^2-2x-1.$
Jika ada opsi lain yang nilainya -1 , maka substitusi

$x=-3$ hasilnya harus -13 atau substitusi

$x=2$ hasilnya harus 7 atau substitusi

$x=-1$ hasilnya harus 1.
Jadi, suku banyaknya adalah

$x^3+x^2-2x-1. \heartsuit$

Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40