Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Diketahui fungsi

$f:R \rightarrow R$ dan

$g:R \rightarrow R$ yang dinyatakan

$f(x)=2x-1$ dan

$g(x)=\frac{x}{x+2} , x\neq -2$ . Invers

$(fog)(x)$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Invers :

$y=\frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow y^{-1}=\frac{dx-b}{-cx+a}$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$(fog)(x)$ dan

$(fog)^{-1}(x)$ :

$\begin{align*} (fog)(x) &= f(g(x)) \\ &= f \left( \frac{x}{x+2} \right) \\ &= 2.\left( \frac{x}{x+2} \right) -1 \\ &= \frac{2x-(x+2)}{x+2} \\ &= \frac{x-2}{x+2} \\ (fog)^{-1}(x) &= \frac{2x+2}{-x+1} = \frac{2x+2}{1-x} , \, \, \, x \neq 1 \end{align*}$
Jadi, Invers

$(fog)(x)$ adalah

$(fog)^{-1}(x)=\frac{2x+2}{1-x} . \heartsuit$

Nomor 12

Di Zedland ada dua media massa koran yang sedang mencari orang untuk bekerja sebagai penjual koran. Iklan di bawah ini menunjukkan bagaimana mereka membayar gaji penjual koran.

Joko memutuskan untuk melamar menjadi penjual koran. Ia perlu memilih bekerja pada Media Zedland atau Harian Zedland . Grafik manakah di bawah ini yang menggambarkan bagaimana koran membayar penjual-penjualnya?

$\clubsuit \,$ Misalkan, banyak koran adalah

$x$ :

$\clubsuit \,$ Koran Harian Zedland
0,05 per koran (

$0,05x$ ) dan mendapatkan 60 zed, sehingga totalnya :

$0,05x+60$
persamaannya :

$y=0,05x+60$

$\clubsuit \,$ Koran Media Zedland
Sebelum 240 koran, gaji =

$0,20x$ dan selebihnya 0,40 sehingga perkoran menjadi 0,60, gaji =

$0,60x$
persamaannya :

$y=0,20x$ untuk

$x\leq 240$ dan

$y=0,60x$ untuk

$x>240$

Jadi, gabungan kedua gambar:

$\heartsuit$

Nomor 13

Diketahui matriks

$A= \left( \begin{matrix}2x & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right) , B= \left( \begin{matrix} x-y & y+1 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) , \text{dan} C= \left( \begin{matrix} -4 & -3 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right)$ . Jika

$C^t$ adalah transpose dari matriks

$C$ dan

$A+B=C^t$ , nilai dari

$2x+3y=...$

$\begin{align*} A+B &= A^t \\ \left( \begin{matrix}2x & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x-y & y+1 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -4 & 5 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 3x-y & y+4 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -4 & 5 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right) \\ y+4 = 5 \Rightarrow & y=1 \\ 3x-y = -4 \Rightarrow & 3x -1 =-4 \Rightarrow x=-1 \end{align*}$
sehingga

$2x+3y=2.(-1)+3.1=1$
Jadi, nilai

$2x+3y=1 . \heartsuit$

Nomor 14

Diketahui vektor-vektor

$\vec{a}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right), \vec{b}=\left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ m \end{matrix} \right), \text{dan} \vec{c}=\left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{matrix} \right)$ . Jika

$\vec{a}$ tegak lurus

$\vec{b}$ , hasil dari

$\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c} = ...$

$\spadesuit \,$ Hubungan tegak lurus ,

$\vec{a} \bot \vec{b} \Rightarrow \vec{a}.\vec{b}=0$ , sehingga diperoleh :

$\begin{align*} \vec{a}.\vec{b}&=0 \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ m \end{matrix} \right) &= 0 \\ 4+8-3m &= 0 \Rightarrow m=4 \\ \text{sehingga vektor } \, \vec{b} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} \right) \end{align*}$

$\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 6 \\ -8 \\ 10 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 14 \\ -9 \end{matrix} \right)$
Jadi, nilai

$\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 14 \\ -9 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit$

Nomor 15

Diketahui vektor-vektor

$\vec{u}=b\vec{i}+a\vec{j}+9\vec{k}$ dan

$\vec{v}=a\vec{i}+-b\vec{j}+a\vec{k}$ . Sudut antara vektor

$\vec{u}$ dan

$\vec{v}$ adalah

$\theta$ dengan

$cos\theta = \frac{6}{11}$ . Proyeksi

$\vec{u}$ pada

$\vec{v}$ adalah

$\vec{p}=4\vec{i}+-2\vec{j}+4\vec{k}$ . Nilai dari

$b=...$

$\clubsuit \,$ Perkalian dot :

$\vec{u}.\vec{v} =ab-ab+9a=9a \, \,$ dan

$\, \, \vec{u}.\vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| cos \theta$

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v} &= |\vec{u}| |\vec{v}| cos \theta \\ 9a &= \left( \sqrt{a^2+b^2+9^2} \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right) . \frac{6}{11} \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Proyeksi vektor

$\vec{u}$ pada

$\vec{v}$ adalah

$\vec{p}$ :

$\begin{align*} \vec{p} &= \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{matrix} \right) &= \frac{9a}{\left( \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right)^2} \left( \begin{matrix} a \\ -b \\ a \end{matrix} \right) \end{align*}$
Persamaan yang terbentuk :

$4 = \frac{9a}{\left( \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right)^2} . a \, \, \, \text{...pers(ii)}$

$-2 = \frac{9a}{\left( \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right)^2} . (-b) \, \, \, \text{...pers(iii)}$

$\clubsuit \,$ Bagi pers(ii) dan pers(iii) , diperoleh :

$-2=\frac{-a}{b} \Rightarrow a=2b$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$a=2b$ ke pers(i) :

$\begin{align*} 9a &= \left( \sqrt{a^2+b^2+9^2} \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right) . \frac{6}{11} \, \, \, \text{...pers(i)} \\ 9.2b &= \left( \sqrt{(2b)^2+b^2+81} \sqrt{(2b)^2+b^2+(2b)^2} \right) . \frac{6}{11} \\ \not{18}b &= \left( \sqrt{4b^2+b^2+81} \sqrt{4b^2+b^2+4b^2} \right) . \frac{\not{6}}{11} \\ 3b &= \left( \sqrt{5b^2+81} \sqrt{9b^2} \right) . \frac{1}{11} \\ 11. \not{3b} &= \left( \sqrt{5b^2+81} \right) . \not{3b} \\ \sqrt{5b^2+81} &= 11 \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 5b^2+81 &= 121 \\ b^2 &= 8 \\ b &= \pm 2\sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai

$b=2\sqrt{2} . \heartsuit$

Cara II :

$\clubsuit \,$ Perkalian dot :

$\vec{u}.\vec{v} =ab-ab+9a=9a \, \,$ dan

$\, \, \vec{u}.\vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| cos \theta$

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v} &= |\vec{u}| |\vec{v}| cos \theta \\ 9a &= \left( \sqrt{a^2+b^2+9^2} \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right) . \frac{6}{11} \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Hasil proyeksi

$\vec{u}$ pada

$\vec{v}$ adalah

$\vec{p}$ yang artinya

$\vec{p}$ sejajar dengan

$\vec{v}$ , sehingga

$\begin{align*} \vec{p} &= n.\vec{v} \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{matrix} \right) &= n \left( \begin{matrix} a \\ -b \\ a \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} an \\ -bn \\ an \end{matrix} \right) \end{align*}$
Diperoleh :

$4 = an \Rightarrow n=\frac{4}{a}$

$-2 = -bn \Rightarrow -2 = -b. \frac{4}{a} \Rightarrow a= 2b$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$a=2b$ ke pers(i) :

$b=2\sqrt{2} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu