Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007

Nomor 1

Jika

$a > 0$ dan

$a\neq 1$ memenuhi

$a^{\sqrt[3]{4}} = \left( \frac{1}{a} \right)^{-b}$ , maka

${}^2 \log b = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar :

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x)$

$\begin{align} a^{\sqrt[3]{4}} & = \left( \frac{1}{a} \right)^{-b} \\ a^{\sqrt[3]{4}} & = \left( a^{-1} \right)^{-b} \\ \not{a}^{\sqrt[3]{4}} & = \not{a}^b \\ b & = \sqrt[3]{4} \\ b & = (4)^\frac{1}{3} = (2^2)^\frac{1}{3} = 2^\frac{2}{3} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

${}^2 \log b$

$\begin{align} {}^2 \log b & = {}^2 \log 2^\frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{3} . {}^2 \log 2 \\ & = \frac{2}{3} . 1 = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, nilai

${}^2 \log b = \frac{2}{3} . \heartsuit$

Nomor 2

Sebuah bilangan dikalikan 2, kemudian dikurangi 16 dan setelah itu dikalikan bilangan semula. Jika hasil akhirnya adalah

$P$ , maka nilai minimum dari

$P$ tercapai bilamana bilangan semula adalah ....

$\spadesuit \,$ Misalkan bilangan awalnya

$x$
Dikali 2 :

$2x$
dikurangi 16 :

$2x-16$
dikali semula :

$(2x-16)x$
Hasil akhirnya

$P$ , sehingga :

$P= (2x-16)x = 2x^2 - 16x$

$\spadesuit \,$ Nilai minimum

$P$ saat

$P^\prime = 0$ (turunannya = 0 )

$P = 2x^2 - 16x \rightarrow P^\prime = 4x-16$

$P^\prime = 0 \rightarrow 4x-16 = 0 \rightarrow x=4$
Jadi, bilangan semula adalah 4.

$\heartsuit$

Nomor 3

Persamaan kuadrat

$4x^2+p=-1$ , mempunyai akar

$x_1$ dan

$x_2$ . Jika

$x_1 = \frac{1}{2}$ , maka

$p(x_1^2+x_2^2) = ....$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x_1 = \frac{1}{2}$ ke persamaan kuadrat

$4x^2+p=-1 \rightarrow 4 \left( \frac{1}{2} \right)^2+p=-1 \rightarrow p=-2$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$p=-2$ ke persamaan kuadrat

$\begin{align*} 4x^2+p & = -1 \\ 4x^2+(-2) & = -1 \\ 4x^2 & = 1 \\ x^2 & = \frac{1}{4} \rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \\ x_1 = \frac{1}{2} & \vee x_2 = -\frac{1}{2} \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Nilai

$p(x_1^2+x_2^2)$

$\begin{align*} p(x_1^2+x_2^2) & = (-2)\left(\left( \frac{1}{2} \right)^2+\left( -\frac{1}{2} \right)^2\right) \\ & = -2. \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) = -1 \end{align*}$
Jadi, nilai

$p(x_1^2+x_2^2) = -1. \heartsuit$

Nomor 4

Jika

$x_1$ dan

$x_2$ adalah akar-akar persamaan

$(5-2\log x ) \log x = \log 1000$ , maka

$x_1^2+x_2^2 = ....$

$\spadesuit \,$ Misalkan

$p=\log x$

$\begin{align} (5-2\log x ) \log x & = \log 1000 \\ (5-2p)p & = 3 \\ 5p-2p^2 & = 3 \\ 2p^2 - 5p +3 & = 0 \\ (2p-3)(p-1) & = 0 \\ p=\frac{3}{2} & \vee p = 1 \\ p=\frac{3}{2} \rightarrow & \log x = \frac{3}{2} \rightarrow x_1 = 10^\frac{3}{2} \\ p=1 \rightarrow & \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^1 = 10 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai