Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003

Nomor 1

Nilai dari :

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+2-\sqrt{5})(\sqrt{10}+2\sqrt{3})= ....$

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar :

$(p+q)(p-q)=p^2-q^2$

$\begin{align} & (\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+2-\sqrt{5}) \\ & = ([2+\sqrt{3}]+[\sqrt{2}+\sqrt{5}])([2+\sqrt{3}]-[\sqrt{2}+\sqrt{5}]) \\ & = (2+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 \\ & = (4+4\sqrt{3}+3) - (2+2\sqrt{10}+5) \\ & = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{10} \\ & = 2(2\sqrt{3} - \sqrt{10}) \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} & (\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+2-\sqrt{5})(\sqrt{10}+2\sqrt{3}) \\ & = 2(2\sqrt{3} - \sqrt{10})(2\sqrt{3}+\sqrt{10}) \\ & = 2 [(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{10})^2 ] \\ & = 2[12-10] \\ & = 2.2 = 4 \end{align}$
Jadi, hasilnya adalah 4.

$\heartsuit$

Nomor 2

Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun merupakan suatu garis lurus. Jika produksi pada tahun pertama 110 unit dan pada tahun ketiga 150 unit, maka produksi tahun ke-15 adalah ....

$\spadesuit \,$ Menentukan persamaan garis yang melalui titik

$(x_1,y_1) = (1, \, 110) \, \,$ dan

$\, \, (x_2,y_2) = (3, \, 150)$

$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-110}{150-110} & = \frac{x-1}{3-1} \\ \frac{y-110}{40} & = \frac{x-1}{2} \\ 2(y-110) & = 40(x-1) \\ y-110 & = 20(x-1) \\ y & = 20x + 90 \end{align}$
Sehingga pada tahun ke-15, artinya

$\, x = 15$

$y = 20x + 90 \rightarrow y= 20. 15 + 90 = 300 + 90 = 390$
Jadi, produksi tahun ke-15 adalah 390.

$\heartsuit$

Cara II

$\spadesuit \,$ Karena berbentuk garis lurus, maka kenaikannya akan sama sehingga bisa dianggap sebagai barisan aritmetika

$\spadesuit \,$ Barisan aritmetika :

$U_n = a+(n-1)b$
tahun ke-1

$\, \rightarrow U_1 = a = 110$
tahun ke-3

$\, \rightarrow U_3 = 150$

$U_3 = 150 \rightarrow a+2b = 150 \rightarrow 110 + 2b = 150 \rightarrow b = 20$
Sehingga tahun ke-15

$U_{15} = a+14b = 110 + 14. 20 = 110 + 280 = 390$
Jadi, produksi tahun ke-15 adalah 390.

$\heartsuit$

Nomor 3

Jika

$a=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \, \,$ dan

$b = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}, \, \,$ maka

$a + b = ....$

$\clubsuit \,$ Jumlahkan dan samakan penyebutnya

$\begin{align*} a+ b & = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} + \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} \\ & = \frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} \\ & = \frac{(1-2\sqrt{3}+3) + (1+2\sqrt{3}+3)}{1-3} \\ & = \frac{8}{-2} = -4 \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah -4.

$\heartsuit$

Nomor 4

Garis

$h \,$ memotong sumbu X positif di A dan sumbu Y positif di B. Jika O adalah titik pangkal sistem koordinat, OA = 3, dan OB = 4, maka persamaan garis

$g \,$ yang melalui O dan tegak lurus pada

$h \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Gambar