Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 631 tahun 2014

Nomor 1

Tiga puluh data mempunyai rata-rata

$p$ . Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah

$p+0,1$ ; 40% lainnya adalah

$p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah

$p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah

$p+q$ , maka

$q=...$

$\clubsuit \,$ Rumus rata-rata gabungan :

$\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$

$\clubsuit \,$ Data dibagi menjadi 4 kelompok :

$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$q$

$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi,

$q=\frac{7}{30}. \heartsuit$

Nomor 2

Jika

${}^b \log a = -2 \,$ dan

${}^3 \log b = \left( {}^3 \log 2 \right) ( 1 + {}^2 \log 4a ), \,$ maka

$4a + b = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep logaritma:
Definisi :

${}^a \log b = c \rightarrow b = as^c$
Sifat :

${}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) , \,$ dan

${}^a \log b. {}^b \log c = {}^a \log c$
Persamaan :

${}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x)$

$\spadesuit \,$ Menentukan hubungan

$a \,$ dan

$b$
Persamaan pertama :

$\begin{align} {}^b \log a = -2 \rightarrow a & = b^{-2} \\ a & = \frac{1}{b^2} \\ a.b^2 & = 1 \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :

$\begin{align} {}^3 \log b & = \left( {}^3 \log 2 \right) ( 1 + {}^2 \log 4a ) \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 2 + {}^3 \log 2 . {}^2 \log 4a \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 2 + {}^3 \log 4a \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log (2. 4a) \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 8a \\ b & = 8a \, \, \, \text{ ....pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(ii) ke pers(i)

$\begin{align} b = 8a \rightarrow a.b^2 & = 1 \\ a.(8a)^2 & = 1 \\ 64a^3 & = 1 \\ a^3 & = \frac{1}{64} \\ a & = \frac{1}{4} \end{align}$
Pers(ii) :

$b = 8a = 8 . \frac{1}{4} = 2$
Sehingga nilai

$4a + b = 4. \frac{1}{4} + 2 = 1+2 = 3$
Jadi, nilai

$4a + b = 3 . \heartsuit$

Nomor 3

Persamaan kuadrat

$px^2 - qx + 4 = 0 \,$ memunyai akar positif

$\alpha \,$ dan

$\beta \,$ dengan

$\alpha = 4\beta . \,$ Jika grafik fungsi

$f(x) = px^2 - qx + 4 \,$ mempunyai sumbu simetri

$x = \frac{5}{2} , \,$ maka nilai

$p \,$ dan

$q \,$ masing-masing adalah ....

$\clubsuit \,$ Menentukan hubungan

$p \,$ dan

$q$ dengan operasi akar-akar
Diketahui :

$\alpha = 4 \beta \,$ ....pers(i)
PK :

$px^2 - qx + 4 = 0 \,$ dengan akar-akar

$\alpha \,$ dan

$\beta$

$\alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-q)}{p} \rightarrow \alpha + \beta = \frac{q}{p} \,$ ...pers(ii)
Substitusi pers(i) ke pers(ii) :

$\alpha + \beta = \frac{q}{p} \rightarrow 4\beta + \beta = \frac{q}{p} \rightarrow 5\beta = \frac{q}{p} \rightarrow \beta = \frac{q}{5p}$
pers(i) :

$\alpha = 4 \beta = 4.\frac{q}{5p} = \frac{4q}{5p} \,$
Operasi perkalian dan gunakan

$\alpha = \frac{4q}{5p} , \, \beta = \frac{q}{5p}$

$\begin{align} \alpha . \beta & = \frac{c}{a} \\ \frac{4q}{5p} . \frac{q}{5p} & = \frac{4}{p} \\ q^2 & = 25p \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Fungsi

$f(x) = px^2 - qx + 4 \,$ dengan sumbu simetri

$x = \frac{5}{2} ,$
artinya

$x_p = \frac{5}{2} \,$ dengan rumus

$x_p = \frac{-b}{2a}$

$\begin{align} x_p & = \frac{5}{2} \\ \frac{-b}{2a} & = \frac{5}{2} \\ \frac{-(-q)}{2p} & = \frac{5}{2} \\ q & = 5p \, \, \, \text{...pers(iv)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(iv) ke pers(iii)

$\begin{align} q = 5p \rightarrow q^2 & = 25p \\ (5p)^2 & = 25p \\ 25p^2 & = 25p \, \, \, \text{(bagi 25)} \\ p^2 & = p \\ p^2 - p & = 0 \\ p(p-1) & = 0 \\ p=0 \vee p & = 1 \end{align}$
Karena fungsi kuadrat berbentuk

$f(x) = px^2 - qx + 4 \,$ , maka

$p \neq 0 , \,$ sehingga yang memenuhi adalah nilai

$p = 1$ .
pers(iv) :

$q = 5p = 5.1 = 5$
Jadi, diperoleh nilai

$p =1 \,$ dan

$q = 5. \heartsuit$

Cara II :

$\clubsuit \,$ Rumus

$x_p = \frac{-b}{2a} \,$ dapat dimodifikasi dengan

$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}$

$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} . \frac{-b}{a} = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \end{align}$
Artinya bentuk lain rumus

$x_p \,$ adalah

$x_p = \frac{1}{2} (\alpha + \beta)$

$\clubsuit \,$ Fungsi

$f(x) = px^2 - qx + 4 \,$ dengan sumbu simetri

$x = \frac{5}{2} ,$
artinya

$x_p = \frac{5}{2} \,$ dengan rumus

$x_p = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \,$ dan diketahui

$\alpha = 4\beta$

$\begin{align} x_p & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} (\alpha + \beta) & = \frac{5}{2} \\ \alpha + \beta & = 5 \, \, \, \text{(subst. } \alpha = 4\beta ) \\ 4\beta + \beta & = 5 \\ 5\beta & = 5 \rightarrow \beta = 1 \end{align}$
Bentuk :

$\alpha = 4\beta \rightarrow \alpha = 4.1 = 4$
diperole

$\alpha = 1 \,$ dan

$\beta = 4$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$p \,$ dan

$q \,$ dengan operasi akar-akar
PK :

$px^2 - qx + 4 = 0 \,$ dengan akar-akar

$\alpha \,$ dan

$\beta$

$\begin{align} *). \, \, \alpha.\beta & = \frac{c}{a} \\ 1.4 & = \frac{4}{p} \rightarrow p = 1 \\ *). \, \, \alpha+\beta & = \frac{-b}{a} \\ 1+4 & = \frac{-(-q)}{p} \\ 5 & = \frac{q}{1} \rightarrow q = 5 \end{align}$
Jadi, diperoleh nilai

$p =1 \,$ dan

$q = 5. \heartsuit$

Nomor 4

Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...

$\spadesuit \,$ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya :

$f(x,y)=x+y$
Fungsi kendala:

$x+2y \leq 40$ dan

$1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu

$X$ dan sumbu

$Y$ :

$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok}$

$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok}$

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan

$x+2y = 40$ dan

$3x+y = 30$ diperoleh

$x=4,y=18$ , sehingga titik potongnya (4,18)

$\spadesuit \,$ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :

$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20$

$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10$

$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .

$\heartsuit$

Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.

$\spadesuit \,$ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya :

$f(x,y)=x+y$
Fungsi kendala:

$x+2y \leq 40$ dan

$1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$

$\spadesuit \,$ Memodifikasi fungsi kendalanya

$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array}$
Dari bentuk

$x + y \leq 22, \,$ artinya nilai maksimum dari

$x + y \,$ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .

$\heartsuit$

Nomor 5

Jika

$a > 2, \,$ maka grafik fungsi

$f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \,$
(A) berada di atas sumbu X
(B) berada di bawah sumbu X
(C) menyinggung sumbu X
(D) memotong sumbu X di dua titik berbeda
(E) memotong sumbu X di

$(x_1,0) \,$ dan

$(x_2,0) \,$ dengan

$x_1 > 0 \,$ dan

$x_2 > 0$

$\clubsuit \,$ Konsep nilai diskriminan (

$D=b^2-4ac$ ) pada fungsi kuadrat (FK)
jika nilai

$D > 0 \,$ , maka FK memotong sumbu X di dua titik berbeda
jika nilai

$D = 0 \,$ , maka FK memotong sumbu X di satu titik (menyinggung)
jika nilai

$D < 0 \,$ , maka FK tidak memotong atau tidak menyinggungs sumbu X

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai Diskriminannya
fungsi

$f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \,$ dengan

$a > 2$