Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 96 tahun 2010

Nomor 1

Diketahui matriks

$A = \left( \begin{matrix} x+5 & x+3 & -2 \\ 4 & x-4 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right)$
Jika

$x_1 \,$ dan

$x_2 \,$ merupakan solusi agar det(A) = 0 , maka nilai

$x_1 + x_2 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep dasar determinan matriks 3

$\times \,$ 3
Misal :

$A = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right)$
Determinan matriks A ditentukan dengan cara memindahkan dua kolom pertama ke sebelah kanan.
spmk_ub_2_2010

Det(A)=

$(aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)$
keterangan :

$aei = a \times e \times i$

$\spadesuit \,$ Menentukan Determinan matriks A
spmk_ub_2a_2010

$\begin{align} det(A) & = \left[ (x+5)(x-4).(-1) + (x+3).(-4).(1) + -2.4.1 \right] \\ & - \left[ -2.(x-4).1 + (x+5).(-4).1 + (x+3).4.(-1) \right] \\ det(A) & = -x^2 + 5x +24 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$x_1 + x_2$

$\begin{align} det(A) & = 0 \\ -x^2 + 5x +24 & = 0 x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} & = \frac{-5}{-1} = 5 \end{align}$
Jadi, nilai

$x_1 + x_2 = 5. \heartsuit$

Nomor 2

Diantara 10 orang wakil siswa yang terdiri dari 3 perempuan dan 7 laki-laki akan dibentuk kepanitiaan yang tediri atas 4 orang. Banyaknya susunan kepanitiaan yang dapat dibentuk jika disyaratkan paling banyak 2 perempuan dalam susunan panitia, adalah ....

$\clubsuit \,$ Ada 3P dan 7L, akan dipilih 4 orang.
Pada kasus ini, urutan tidak diperhatikan (AB sama dengan BA) karena tidak melibatkan jabatan, sehingga menggunakan kombinasi.
Konsep :

$C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$\clubsuit \,$ Kasus paling banyak 2P, akan dibagi menjadi beberapa kemungkinan
*). kemungkinan I : semuanya laki-laki
0P4L

$\rightarrow \,$ cara I =

$C_0^3.C_4^7 = 1. 35 = 35 \,$ cara
*). kemungkinan II : 1 perempuan 3 laki-laki
1P3L

$\rightarrow \,$ cara II =

$C_1^3.C_3^7 = 3. 35 = 105 \,$ cara
*). kemungkinan III : 2 perempuan 2 laki-laki
2P2L

$\rightarrow \,$ cara III =

$C_2^3.C_2^7 = 3.21 = 63 \,$ cara
Sehingga total cara :
total = cara I + cara II + cara III = 35 + 105 + 63 = 203
Jadi, banyak susunan kepanitiaan ada 203 cara.

$\heartsuit$

Nomor 3

Persamaan kuadrat

$9x^2 - m = 5 \,$ memiliki akar persamaan

$x_1 \,$ dan

$x_2 . \,$ Jika

$x_1 = \frac{1}{3} , \,$ maka

$2m(x_1^2 + x_2^2) \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Subatitusi

$x_1 = \frac{1}{3} \,$ ke persamaan kuadrat (PK)

$\begin{align} x_1 = \frac{1}{3} \rightarrow 9x^2 - m & = 5 \\ 9\left( \frac{1}{3} \right)^2 - m & = 5 \\ 9\left( \frac{1}{9} \right) - m & = 5 \\ 1 - m & = 5 \\ m & = -4 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$x_2$ dengan substitusi nilai

$m$

$\begin{align} m = -4 \rightarrow 9x^2 - m & = 5 \\ 9x^2 & = m + 5 \\ 9x^2 & = -4 + 5 \\ 9x^2 & = 1 \\ x^2 & = \frac{1}{9} \\ x & = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3} \end{align}$
sehingga nilai

$x_1 = \frac{1}{3} \,$ dan

$x_2 = - \frac{1}{3}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} 2m(x_1^2 + x_2^2) & = 2.(-4).\left[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} \right)^2 \right] \\ & = (-8).\left[ \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \right] \\ & = (-8).\left[ \frac{2}{9} \right] \\ 2m(x_1^2 + x_2^2) & = - \frac{16}{9} \end{align}$
Jadi, nilai

$2m(x_1^2 + x_2^2) = - \frac{16}{9} . \heartsuit$

Nomor 4

Dalam sebuah ruang pesta terdapat sepuluh pasangan suami istri. Secara acak dipilih dua orang untuk berdansa. Peluang terpilihnya dua orang tersebut bukan suami istri adalah ....

$\clubsuit \,$ Peluang komplemen :

$P(A^c) = 1 - P(A)$

$\clubsuit \,$ Ada 10 Pasutri sehingga total ada 20 orang, dipilih 2 orang secara acak.

$n(S) = C_2^{20} = 190$

$\clubsuit \,$ Untuk memudahkan penyelesaian, kita gunakan peluang komplemen
Misal : A = kejadian terpilihnya pasutri dan

$A^c \,$ = kejadian terpilihnya bukan pasutri.
keterangan : Pasutri = pasangan suami istri.

$\clubsuit \,$ Menentukan peluangnya
ada 10 pasutri, sehingga

$n(A) = 10 \,$ artinya kemungkinan ada 10 cara yang terpilih mereka adalah pasutri.

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{190} = \frac{1}{19}$
Peluang komplemennya :

$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{19} = \frac{18}{19}$
artinya peluang terpilihnya bukan pasutri (

$A^c \,$ ) adalah

$\frac{18}{19}$
Jadi, peluang terpilihnya bukan pasutri adalah

$\frac{18}{19} . \heartsuit$

Nomor 5

Jika A dan B sudut lancip, dengan

$\cos (A-B) = \frac{1}{2} \,$ dan

$\sin A \sin B = \frac{1}{2}\sqrt{3} , \,$ maka

$\frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep trigonometri

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\cos A \cos B$

$\begin{align} \cos (A-B) & = \frac{1}{2} \\ \cos A \cos B + \sin A \sin B & = \frac{1}{2} \\ \cos A \cos B + \frac{1}{2}\sqrt{3} & = \frac{1}{2} \\ \cos A \cos B & = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} \frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} & = \frac{\frac{1}{2}}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}) - \frac{1}{2}\sqrt{3} } \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - \sqrt{3} } = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - \sqrt{3} } . \frac{2}{2} \\ & = \frac{1}{1 - 2\sqrt{3} } = \frac{1}{1 - 2\sqrt{3} } . \frac{1 + 2\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3} } \\ & = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{1 - 12} = - \frac{1}{11} (1 + 2\sqrt{3}) = - \frac{1}{11} [2(\frac{1}{2} + \sqrt{3})] \\ \frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} & = \frac{-2}{11} (\frac{1}{2} + \sqrt{3}) \end{align}$
Jadi, nilai