Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 21 sampai 25

Nomor 21

Seutas tali dipotong menjasi 6 bagian sehingga potongan-potongan tersebut membentuk deret geometri. Jika tali terpendek 5 cm dan tali terplanjang 160 cm, panjang tali tersebut sebelum dipotong adalah ...

$\spadesuit \,$ Barisan geometri :

$u_n=ar^{n-1}$ dan

$s_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$
Diketahui

$a=5, u_6=160 , n=6$

$u_6=160 \Leftrightarrow ar^5=160 \Leftrightarrow 5r^5=160 \Leftrightarrow r=2$

$\spadesuit \,$ Menentukan panjang total talinya (

$s_6$ ) :

$\begin{align*} s_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ s_6 &= \frac{5(2^6-1)}{2-1} \\ &= 5. 36 =315 \end{align*}$
Jadi, panjang tali sebelumnya adalah 315 cm .

$\heartsuit$

Nomor 22

Diketahui balok KLMN.PQRS dengan KL = 3 cm , LM = 4 cm, dan KP = 12 cm. Jarak titik R ke garis PM adalah ....

$\clubsuit \,$ Gambar balok dan segitiganya :

$\clubsuit \,$ Gunakan luas segitiga PMR :

$\begin{align*} L_{\Delta PMR} &= L_{\Delta PMR} \\ \frac{1}{2}.PM.TR &= \frac{1}{2}.RM.RP \, \, \text{(coret } \, \frac{1}{2} ) \\ PM.TR &= RM.RP \\ 13.TR &= 12.5 \\ TR &= \frac{60}{13} \end{align*}$
Jadi, panjang

$TR = \frac{60}{13}$ cm.

$\heartsuit$

Nomor 23

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah

$\alpha$ . Nilai

$\sin \alpha = ...$

$\spadesuit \,$ Gambar balok dan segitiganya :

$\spadesuit \,$ Menentukan sinus sudutnya :

$\angle (EA, \Delta AFH ) = \angle ( AE,AP) = \theta$

$\begin{align*} \sin \theta &= \frac{EP}{AP} = \frac {2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{6}} . \frac {\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac {\sqrt{12}}{6} = \frac {2\sqrt{3}}{6} \\ \sin \theta &= \frac {\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, nilai

$\sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{3} . \heartsuit$

Nomor 24

Diketahui jajargenjang seperti gambar.

Panjang diagonal PR = ...

Cara I :

$\clubsuit \,$ Gambar lengkapnya :

$\clubsuit \,$ Aturan cosinus pada sisi

$PR$ :

$\begin{align*} PR^2 &= QP^2 + QR^2 - 2.QP.QR. \cos PQR \\ &= 6^2 + 6^2 - 2.6.6.\cos 120^o \\ &= 36+36 - 72. (-\frac{1}{2}) \\ &= 72+ 36 \\ PR^2 &= 108 \\ PR &= \sqrt{108}=6\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, panjang

$PR =6\sqrt{3}. \heartsuit$

Cara II :

$\clubsuit \,$ Gambar lengkapnya :

$\clubsuit \,$ Perhatikan segitiga

$PQT$ :

$\begin{align*} \sin Q &= \frac{PT}{PQ} \\ \sin 60^o &= \frac{PT}{6} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} &= \frac{PT}{6} \\ PT &= 6. \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ PT &= 3\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, panjang

$PR =2.PT=2\times 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}. \heartsuit$

Cara III :

$\clubsuit \,$ Gambar lengkapnya :

$\clubsuit \,$ Perhatikan segitiga

$PQT$ ,

$QT=\frac{1}{2} QS=3$ dan gunakan pythagoras:

$\begin{align*} PT &= \sqrt{PQ^2-QT^2} \\ &= \sqrt{6^2-3^2} \\ &= \sqrt{36-9} \\ &= \sqrt{27} \\ PT &= 3\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, panjang

$PR =2.PT=2\times 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}. \heartsuit$

Nomor 25

Himpunan penyelesaian dari persamaan

$2\cos ^2x + 5\sin x-4 = 0$ untuk

$0^o \leq x \leq 360^o$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Misalkan

$p=\sin x$ dan gunakan

$\sin ^2x + \cos ^2x =1$ :

$\begin{align*} 2\cos ^2x + 5\sin x-4 &= 0 \\ 2(1-\sin ^2x) + 5\sin x-4 &= 0 \\ 2-2\sin ^2x + 5\sin x-4 &= 0 \\ 2\sin ^2x -5\sin x +2 &= 0 \\ 2p^2-5p+2 &= 0 \\ (2p-1)(p-2) &= 0 \\ p=\frac{1}{2} \, &\text{atau} \, p=2 \\ p=\frac{1}{2} \Rightarrow & \sin x =\frac{1}{2} \Rightarrow x=\{30^o, 150^o\} \\ p=2 \Rightarrow & \sin x =2 \, \text{(tidak ada nilai} \, x \, \text{ yang memenuhi )} \\ &\text{(nilai maksimum dari} \, \sin x \, \text{adalah 1)} \end{align*}$
Jadi,

$HP=\{ 30^o, 150^o\} .\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40