Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2006

Nomor 1

Jika

$\alpha$ dan

$\beta$ berturut-turut merupakan sudut lancip yang dibentuk oleh sumbu X dengan garis singgung

$y = x^2 - 4x - 5$ di titik dengan absis -1 dan 3, maka

$\tan (\beta - \alpha ) = ....$

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan

$y = x^2 - 4x - 5 \rightarrow y^\prime = 2x - 4$

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien

$x = -1 \rightarrow m_1 = f^\prime (-1) = 2.(-1)-4 = -6$
artinya

$\tan \alpha = m_1 \rightarrow \tan \alpha = -6$

$x = 3 \rightarrow m_2 = f^\prime (3) = 2.3-4 = 2$
artinya

$\tan \beta = m_2 \rightarrow \tan \beta = 2$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$\, \tan (\beta - \alpha )$

$\begin{align} \tan (\beta - \alpha ) & = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta . \tan \alpha} \\ & = \frac{2 - (-6) }{1 + 2.(-6)} \\ & = \frac{8 }{-11} = - \frac{8 }{11} \end{align}$
Jadi, nilai

$\tan (\beta - \alpha ) = - \frac{8 }{11} . \heartsuit$

Nomor 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik P pada CG dan titik Q pada DH dan CP = DQ = 1 cm, maka bidang PQEF mengiris kuus tersebut menjadi dua bagian. Volume bagian yang lebih besar adalah .....

$\spadesuit \,$ Gambar

$\spadesuit \,$ Menentukan volume atas (prisma FPG.EQH)

$\begin{align} V_1 & = L_{alas} . t \\ & = (\frac{1}{2}.PG.GF).FE \\ & = (\frac{1}{2}.3.4).4 \\ V_1 & = 24 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan volume bawah (prisma BCPF.ADQE)

$\begin{align} V_2 & = L_{alas} . t \\ & = \left[ \frac{1}{2}.(CP+FB).BC \right].AB \\ & = \left[ \frac{1}{2}.(1+4).4 \right].4 \\ V_2 & = 40 \end{align}$
Jadi, volume yang paling besar adalah 40 cm

$^3 . \heartsuit$

Nomor 3

Si A kuliah pada perguruan tinggi selama 8 semester. Besar SPP yang harus dibayar pada setiap semesternya adalah Rp.200.000 lebih besar dari SPP semester sebelumnya. Jika pada semester ke-8 dia membayar Rp.2.400.000, maka total SPP yang dibayar selama 8 semester adalah ....

$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika :

$U_n = a+(n-1)b \,$ dan

$\, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a$ (suku pertamanya) dari

$b =200.000 \,$ dan

$U_8 = 2.400.000$

$\begin{align} U_8 & = 2400000 \\ a+7b & = 2400000 \\ a+7.(200000) & = 2400000 \\ a & = 1.000.000 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan jumlah semua SPP (

$S_8$ )

$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_8 & = \frac{8}{2}(2a+(8-1)b) \\ S_8 & = 4.(2\times 1000000+7 \times 200000) \\ & = 4.(3400000) = 13.600.000 \end{align}$
Jadi, total SPP nya adalah Rp.13.600.000.

$\heartsuit$

Nomor 4

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^3}}{\cos x - \cos 3x} = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar
Limit :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$
Selisih :

$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}(A+B) \sin \frac{1}{2}(A-B)$
Sudut negatif :

$\sin (-x) = -\sin x$

$\spadesuit \,$ Meyederhanakan bentuk

$\cos x - \cos 3x$

$\begin{align} \cos A - \cos B & = -2 \sin \frac{1}{2}(A+B) \sin \frac{1}{2}(A-B) \\ \cos x - \cos 3x & = -2 \sin \frac{1}{2}(x+3x) \sin \frac{1}{2}(x-3x) \\ & = -2 \sin \frac{1}{2}(4x) \sin \frac{1}{2}(-2x) \\ & = -2 \sin 2x \sin (-x) \\ & = -2 \sin 2x . -\sin x \\ & = 2 \sin 2x \sin x \end{align}$

$\spadesuit \,$ Meyelesaikan soalnya

$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^3}}{\cos x - \cos 3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^3}}{2 \sin 2x \sin x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{ \sin 2x } . \frac{x}{\sin x } . \frac{\sqrt{4-x^3}}{2 } \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{\sqrt{4-0^3}}{2 } \\ & = \frac{1}{2}. \frac{1}{1} . \frac{2}{2 } = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah

$\frac{1}{2} . \heartsuit$

Nomor 5

Jumlah deret suatu geometri tak hingga dengan suku pertama

$a$ dan rasio

$r$ dengan

$0 < r < 1$ adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi (

$1-r$ ), maka jumlahnya menjadi ....

$\clubsuit \,$ Diketahui : Rasio =

$r$ dengan

$0 < r < 1$ dan

$S_\infty = S$
Konsep :

$S_\infty = \frac{\text{Suku pertama}}{1-\text{rasio}}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a$ (suku pertama)

$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-r} \\ S & = \frac{a}{1-r} \rightarrow a = S(1-r) \end{align}$

$\clubsuit \,$ Suku pertama tetap (nilai

$a$ ) dan rasio berubah
(rasio =

$1-r$ )

$\clubsuit \,$ Menentukan Jumlah tak hingga barunya

$\begin{align} S_\infty \, (\text{baru}) & = \frac{\text{Suku pertama}}{1-\text{rasio}} \\ & = \frac{a}{1-(1-r)} \\ & = \frac{S(1-r)}{r} \\ & = S(\frac{1}{r} - 1) \end{align}$
Jadi, jumlahnya menjadi

$S(\frac{1}{r} - 1) . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15