Pembahasan Soal Simak UI Matematika IPA KA2 tahun 2014

Nomor 1

Jika salah satu akar dari persamaan kuadrat

$x^2-4(k+1)x+k^2-k+7=0$ bernilai tiga kali dari akar yang lain dan semua akar-akar bernilai lebih dari 2, maka himpunan semua bilangan

$k$ yang memenuhi adalah ...

$\clubsuit \,$ PK

$x^2-4(k+1)x+k^2-k+7=0 \, \, \, \, \,$ akar - akarnya

$x_1 \,$ dan

$x_2$

$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-[-4(k+1)]}{1} = 4(k+1)$
artinya

$x_1 + x_2 = 4(k+1) \,$ ...pers(i)

$\clubsuit \,$ Salah satu akarnya bernilai tiga kali akar yang lainnya

$x_1 = 3x_2 \,$ ....pers(ii)

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x_1 = 3x_2 \,$ ke pers(i)

$x_1 + x_2 = 4(k+1) \rightarrow 3x_2 + x_2 = 4(k+1) \rightarrow x_2 = k+1$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x_2 = k+1 \,$ ke PK

$\begin{align} x^2-4(k+1)x+k^2-k+7 & =0 \\ (k+1)^2-4(k+1)(k+1)+k^2-k+7 & =0 \\ 2k^2 + 7k - 4 & = 0 \\ (2k-1)(k+4) & = 0 \\ k = \frac{1}{2} \vee k & = -4 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Semua akar-akarnya lebih dari 2

$\begin{align} x_1 > 2 \text{ dan } x_2 & > 2 \\ \text{Jumlahkan keduanya } & \\ x_1 + x_2 & > 2 + 2 \\ x_1 + x_2 & > 4 \\ 4(k+1) & > 4 \\ k+1 & > 1 \\ k & > 0 \end{align}$
Karena nilai

$k > 0 \,$ , maka yang memenuhi adalah

$k = \frac{1}{2}$
Jadi, nilai

$k \,$ yang memenuhi adalah

$k = \frac{1}{2}. \heartsuit$

Nomor 2

Diketahui

$f(x)=\frac{x^2-4}{g(x)}+3 , \, h(x)=\frac{g(x)+3}{x+1},$

$m(x)=\frac{h(x)-2}{x-1}; \, x\neq 1 ; m(1)=2014.$
Jika

$f(x)$ dibagi

$x^2+x-2$ memiliki sisa

$ax+b$ , maka nilai

$a+2b=...$

$\spadesuit \,$ Nilai

$m(1) = 2014 \,$ (untuk

$x = 1$ ) dan

$m(x)=\frac{h(x)-2}{x-1} \,$ tidak boleh untuk

$x = 1 \,$ , maka haruslah

$h(x) - 2 \,$ memeiliki faktor

$(x-1) \,$ , sehingga

$\begin{align} h(x) - 2 & = (x-1) .k(x) \\ h(x) & = (x-1).k(x) + 2 \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
dengan

$k(x) \,$ suatu fungsi tertentu (polinomial)

$\spadesuit \,$ Substitusi

$x = 1 \,$ ke pers(i)

$\begin{align} x=1 \rightarrow h(x) & = (x-1).k(x) + 2 \\ h(1) & = (1-1).k(1) + 2 \\ h(1) & = 2 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi

$x = 1 \,$ dan

$h(1) = 2$

$\begin{align} x=1 \rightarrow h(x) & =\frac{g(x)+3}{x+1} \\ h(1) & =\frac{g(1)+3}{1+1} \\ 2 & =\frac{g(1)+3}{2} \\ g(1) & = 1 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi

$x = 1 \,$ dan

$g(1) = 1$

$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x) & =\frac{x^2-4}{g(x)}+3 \\ f(1) & =\frac{1^2-4}{g(1)}+3 \\ f(1) & =\frac{-3}{g(1)}+3 \\ f(1) & = 0 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi

$x = -2 \,$

$\begin{align} x=-2 \rightarrow f(x) & =\frac{x^2-4}{g(x)}+3 \\ f(-2) & =\frac{(-2)^2-4}{g(-2)}+3 \\ f(-2) & =\frac{4-4}{g(-2)}+3 \\ f(-2) & = 3 \end{align}$
Diperoleh

$f(1) = 0 \,$ dan

$f(-2) = 3$

$\spadesuit \,$ Fungsi

$f(x) \,$ dibagi

$x^2 + x -2 \,$ sisanya

$ax+b \,$ dan anggap hasilnya

$z(x)$ , dapat ditulis

$f(x) = (x^2 + x - 2).z(x) + (ax+b) \,$ ....pers(ii)
atau

$f(x) = (x-1)(x+2).z(x) + (ax+b) \,$ ....pers(ii)

$\spadesuit \,$ Substitusi

$x = 1 \,$ dan

$x=-2 \,$ ke pers(ii)

$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x) & = (x-1)(x+2).z(x) + (ax+b) \\ f(1) & = (1-1)(1+2).z(1) + (a.1+b) \\ 0 & = a + b \, \, \text{...pers(iii)} \\ x=-2 \rightarrow f(x) & = (x-1)(x+2).z(x) + (ax+b) \\ f(-2) & = (-2-1)(-2+2).z(-2) + (a.(-2)+b) \\ 3 & = -2a + b \, \, \text{...pers(iv)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(iii) dan pers(iv)

$\begin{array}{cc} a+b = 0 & \\ -2a+b = 3 & - \\ \hline 3a = -3 & \\ a = -1 & \end{array}$
pers(iii) :

$a+b = 0 \rightarrow -1 + b = 0 \rightarrow b = 1$
Sehingga nilai

$a + 2b = -1 + 2.1 = -1 + 2 = 1$
Jadi, nilai

$a + 2b = 1 . \heartsuit$

Nomor 3

Himpunan semua bilangan

$x$ yang memenuhi pertidaksamaan

$\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\leq \sqrt{2x+5}$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Karena nilai

$\sqrt{x+1} \,$ tidak akan sama dengan nilai

$\sqrt{x} \,$ (dua bilangan berurutan tidak akan pernah sama nilainya), maka pasti nilai

$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} \neq 0 \,$ , sehingga bisa dirasionalkan bentuk pecahannya dan tidak akan mengurangi akar-akarnya karena penyebutnya yang hilang.

$\clubsuit \,$ Rasionalkan ruas kiri

$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} & \leq \sqrt{2x+5} \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} . \frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}} & \leq \sqrt{2x+5} \\ \frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{(x+1)-(x)} & \leq \sqrt{2x+5} \\ \sqrt{x+1}+ \sqrt{x} & \leq \sqrt{2x+5} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Kuadratkan kedua ruas

$\begin{align} (\sqrt{x+1}+ \sqrt{x})^2 & \leq (\sqrt{2x+5})^2 \\ (x+1)+x+2\sqrt{x^2+x} & \leq 2x + 5 \\ \sqrt{x^2+x} & \leq 2 \, \, \, \text{(kuadratkan lagi)} \\ x^2 + x & \leq 4 \\ x^2 + x - 4 & \leq 0 \\ x_{1,2} & = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \end{align}$

HP1 =

$\left\{ \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right\}$

$\clubsuit \,$ Menentukan syarat-syarat akar
*).

$\sqrt{x+1} \,$ syaratnya :

$x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1$
*).

$\sqrt{x} \,$ syaratnya :

$x \geq 0$
*).

$\sqrt{2x+5} \,$ syaratnya :

$2x+5 \geq 0 \rightarrow x \geq \frac{-5}{2}$
Syarat yang memenuhi ketiganya adalah : HP2 =

$\{ x \geq 0 \}$
Sehingga solusinya : HP = HP1

$\cap$ HP2 =

$\left\{ 0 \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right\}$
Jadi, solusinya HP =

$\left\{ 0 \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right\} . \heartsuit$

Nomor 4

A dan B berdiri saling berhadapan dengan jarak 100 m. Seekor kucing bediri di samping A dan mulai berlari menuju B dengan kecepatan 2 m/s. Pada saat yang sama, A berjalan menuju B dengan kecepatan 1 m/s dan berhenti ketika kucing tiba di B. Kucing lalu berbalik arah dan berlari menuju A dengan kecepatan yang sama. B tidak bergerak dari posisi awal. Kemudian, kucing dan A kembali menuju B dengan kecepatannya masing-masing. Jika proses ini berlanjut terus-menerus, jarak yang ditempuh oleh kucing adalah ... m.

$\spadesuit \,$ Konsep geometri tak hingga :

$S_\infty = \frac{a}{1-r}$

$\spadesuit \,$ Misal, Misal

$S_A \,$ = jarak A yang ditempuh
dan

$S_k \,$ = jarak kucing yang ditempuh.
Rumus jarak :

$S = V . t \,$ dengan

$V \,$ jarak dan

$t \,$ adalah waktu.

$V_k = 2 \,$ m/s dan

$V_A = 1 \,$ m/s , artinya jarak yang ditempuh oleh A separuh dari jarak yang ditempuh oleh kucing. Berikut ilustrasi pergerakan kucing dan A .

$\spadesuit \,$ Menentukan total jarak yang ditempuh kucing
Dari ilustrasi gambar di atas, jarak total yang ditempuh kucing :

$\begin{align} S_k & = 100 + 50 + 50 + 25 + 25 + \frac{25}{2} + \frac{25}{2} + .... \\ & = 100 + 2(50 + 25 + \frac{25}{2} + ..... ) \\ & = 100 + 2(S_\infty ) \\ & = 100 + 2(\frac{a}{1-r} ) \\ & = 100 + 2(\frac{50}{1-\frac{1}{2}} ) \\ & = 100 + 2(\frac{50}{\frac{1}{2}} ) \\ & = 100 + 2(100 ) \\ & = 100 + 200 = 300 \end{align}$
Jadi, total jarak yang ditempuh oleh kucing adalah 300 m.

$\heartsuit$

Nomor 5

Diketahui vektor

$\vec{a}=(-1,1,2) , \vec{u}=(-1,c,2)$ dan

$\vec{x}=(-3,0,1)$ .

$L_1$ adalah luas segitiga siku-siku yang dibentuk oleh

$\vec{a}$ dan proyeksi vektor

$\vec{a}$ pada

$\vec{x}$ .

$L_2$ adalah luas segitiga siku-siku yang dibentuk oleh

$\vec{u}$ dan proyeksi vektor

$\vec{u}$ pada

$\vec{x}$ . Jika

$L_1=\frac{1}{8}L_2$ , maka nilai

$2c^2=...$

$\clubsuit \,$ Menentukan panjang dan perkalian dot

$\vec{a}=(-1,1,2) , \vec{u}=(-1,c,2) \, \, \, \,$ dan

$\vec{x}=(-3,0,1)$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 } = \sqrt{6}$

$|\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + c^2 + 2^2 } = \sqrt{c^2 + 5}$

$|\vec{x}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2 } = \sqrt{10}$

$\vec{a} . \vec{x} = (-1).(-3) + 1.0 + 2.1 = 3 + 0 + 2 = 5$

$\vec{u} . \vec{x} = (-1).(-3) + c.0 + 2.1 = 3 + 0 + 2 = 5$

$\clubsuit \,$ Konsep proyeksi skalar vektor (panjangnya)

Proyeksi skalar

$\vec{a} \,$ pada

$\vec{x} \,$ adalah

$\vec{c} \,$ dengan panjangnya :

$|\vec{c}| = \frac{\vec{a}.\vec{x}}{|\vec{x}|}$

$\clubsuit \,$ Proyeksi

$\vec{a} \,$ pada

$\vec{x} \,$ dan luasnya

$|\vec{c_1}| = \frac{\vec{a}.\vec{x}}{|\vec{x}|} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$
Dengan pythagoras :

$|\vec{b_1}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 - |\vec{c_1}|^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - (\frac{\sqrt{10}}{2})^2}= \frac{1}{2}\sqrt{14}$

$L_1 = \frac{1}{2}. |\vec{c_1}| . |\vec{b_1}| = \frac{1}{2}. \frac{\sqrt{10}}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{14} = \frac{\sqrt{35}}{4}$

$\clubsuit \,$ Proyeksi

$\vec{u} \,$ pada

$\vec{x} \,$ dan luasnya

$|\vec{c_2}| = \frac{\vec{u}.\vec{x}}{|\vec{x}|} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$
Dengan pythagoras :

$|\vec{b_2}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 - |\vec{c_2}|^2} = \sqrt{(\sqrt{c^2 + 5})^2 - (\frac{\sqrt{10}}{2})^2}= \frac{\sqrt{2}.\sqrt{5+2c^2}}{2}$

$L_2 = \frac{1}{2}. |\vec{c_2}| . |\vec{b_2}| = \frac{1}{2}. \frac{\sqrt{10}}{2} . \frac{\sqrt{2}.\sqrt{5+2c^2}}{2} = \frac{\sqrt{5(5+2c^2)}}{4}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$2c^2$

$\begin{align} L_1 & =\frac{1}{8}L_2 \\ \frac{\sqrt{35}}{4} & =\frac{1}{8} . \frac{\sqrt{5(5+2c^2)}}{4} \\ \sqrt{35} & = \frac{\sqrt{5(5+2c^2)}}{8} \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 35 & = \frac{5(5+2c^2)}{64} \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 7 & = \frac{(5+2c^2)}{64} \\ 5+2c^2 & = 7 . 64 \\ 5+2c^2 & = 448 \\ 2c^2 & = 443 \end{align}$
Jadi, nilai

$2c^2 = 443 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-12

2 komentar:

Unknown1 Desember 2015 pukul 11.34
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapus
Balasan
Bobbi Sanjaya4 Mei 2019 pukul 21.25
Hallo Pak Putu. Pak saya mau tanya no 1. Itu kedua nilai k baik k=-4 maupun k=1/2 kok tidak membuat x2>2 ya Pak? apa tidak salah syarat pada soal nya Pak? Mohon pencerahannya Pak Putu, terimakasih banyak
BalasHapus
Balasan

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal Simak UI Matematika IPA KA2 tahun 2014

Artikel Terkait

2 komentar: