Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 691 tahun 2014

Nomor 1

Tiga puluh data mempunyai rata-rata

$p$ . Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah

$p+0,1$ ; 40% lainnya adalah

$p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah

$p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah

$p+q$ , maka

$q=...$

$\clubsuit \,$ Rumus rata-rata gabungan :

$\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$

$\clubsuit \,$ Data dibagi menjadi 4 kelompok :

$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$q$

$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi,

$q=\frac{7}{30}. \heartsuit$

Nomor 2

Jika

$p = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 4 \right) , \,$ maka

$\frac{1}{p} = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep logaritma:
sifat(1) :

${}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc)$
sifat(2) :

${}^a \log b^n = n. {}^a \log b , \,$ dan
sifat(3) :

$\frac{1}{{}^b \log a } = {}^a \log b$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$\frac{1}{p}$

$\begin{align} p & = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 4 \right) \\ p & = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 2^2 \right) \, \, \, \text{[sifat(2)]} \\ p & = ({}^a \log 2) .2. \left( {}^{a^2b} \log 2 \right) \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{({}^a \log 2). 2. \left( {}^{a^2b} \log 2 \right)} \, \, \, \text{[sifat(3)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log a^2b \, \, \, \text{[sifat(1)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a \left( {}^2 \log a^2 + {}^2 \log b \right) \, \, \, \text{[sifat(2)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a \left( 2.{}^2 \log a + {}^2 \log b \right) \, \, \, \text{[kalikan]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a . 2.{}^2 \log a + \frac{1}{2} . {}^2 \log a .{}^2 \log b \\ \frac{1}{p} & = \left( {}^2 \log a \right)^2 + \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log b \end{align}$
Jadi, nilai

$\frac{1}{p} = \left( {}^2 \log a \right)^2 + \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log b . \heartsuit$

Nomor 3

Fungsi kuadrat

$f(x) = x^2 + 2px + p \,$ mempunyai nilai minimum

$-p \,$ dengan

$p \neq 0 . \,$ Jika sumbu simetri kurva

$f \,$ adalah

$x = a, \,$ maka nilai

$a + f(a) = ....$

$\clubsuit \,$ Fungsi

$f(x) = x^2 + 2px + p \,$ dengan sumbu simetri

$x = a ,$
artinya

$x_p = a \,$ dengan rumus

$x_p = \frac{-b}{2a}$

$\begin{align} x_p & = a \\ \frac{-b}{2a} & = a \\ \frac{-2p}{2.1} & = a \\ a & = -p \end{align}$

$\clubsuit \,$ Parabola mempunyai nilai minimum

$-p \,$ dan sumbu simetri

$x = a = -p \,$ artinya parabola mempunyai titik puncak

$(x_p,y_p)=(a,-p) = (-p,-p) \, \, \, \,$ atau fungsi minimum pada saat

$x = a \,$ dengan

$f(a) = -p \,$ . Substitusi titik puncak ke fungsi kuadratnya :

$\begin{align} (x_p,y_p) = (-p, -p ) \rightarrow f(x) & = x^2 + 2px + p \\ -p & = (-p)^2 + 2p.(-p) + p \\ -p & = p^2 -2p^2 + p \\ p^2 -2p & = 0 \\ p(p-2) & = 0 \\ p=0 \vee p & = 2 \end{align}$
Karena

$p \neq 0 , \,$ maka yang memenuhi nilai

$p = 2 \,$ .
diperoleh nilai

$a = -p = - 2 \,$ dan

$f(a) = -p = -2$
Sehingga nilai

$a + f(a) = -2 + (-2) = -4$
Jadi, nilai

$a + f(a) = -4 . \heartsuit$

Nomor 4

Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...

$\spadesuit \,$ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya :

$f(x,y)=x+y$
Fungsi kendala:

$x+2y \leq 40$ dan

$1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu

$X$ dan sumbu

$Y$ :

$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok}$

$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok}$

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan

$x+2y = 40$ dan

$3x+y = 30$ diperoleh

$x=4,y=18$ , sehingga titik potongnya (4,18)

$\spadesuit \,$ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :

$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20$

$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10$

$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .

$\heartsuit$

Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.

$\spadesuit \,$ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya :

$f(x,y)=x+y$
Fungsi kendala:

$x+2y \leq 40$ dan

$1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$

$\spadesuit \,$ Memodifikasi fungsi kendalanya

$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array}$
Dari bentuk

$x + y \leq 22, \,$ artinya nilai maksimum dari

$x + y \,$ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .

$\heartsuit$

Nomor 5

Untuk

$0 < a < 10 \,$ , fungsi kuadrat

$f(x) = ax^2 + 2ax + 10 \,$ memenuhi sifat ....
(A) selalu negatif
(B) selalu positif
(C) hanya positif di setiap

$x , \,$ dengan

$0 < x < 10$
(D) hanya negatif di setiap

$x , \,$ dengan

$0 < x < 10$
(E) hanya positif di setiap

$x , \,$ dengan

$x < 0 \,$ atau

$x > 10$

$\clubsuit \,$ Konsep Definit pada fungsi kuadrat (FK)
Definit positif artinya fungsi selalu bernilai positif untuk semua

$x$
Definit negatif artinya fungsi selalu bernilai negatif untuk semua

$x$
Syarat Definit positif :

$a > 0 \,$ dan

$D < 0$
Syarat Definit negatif :

$a < 0 \,$ dan

$D < 0$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai Diskriminannya (

$D$ )
fungsi

$f(x) = ax^2 + 2ax + 10 \,$ dengan

$0 < a < 10$

$\begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2a)^2 - 4.a.10 \\ & = 4a^2 - 40a \\ D & = 4a(a - 10 ) \\ \text{untuk } 0 < a < 10 \rightarrow D & = \underbrace{4a}_{\text{nilai} \, + } . \underbrace{(a - 10 )}_{\text{nilai} \, - } \\ D & < 0 \, \, \, \text{(positif kali negatif = negatif)} \end{align}$
Karena nilai

$a > 0 \,$ dan

$D < 0 , \,$ maka fungsi kuadratnya adalah definit positif yang artinya fungsi selalu bernilai positif.
Jadi, FK memenuhi sifat selalu positif.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15