Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 620 tahun 2015

Nomor 1

Jika

$a \,$ dan

$b \,$ adalah bilangan real positif, maka

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a+b} = ....$

$\clubsuit \,$ Sifat-sifat bentuk akar

$(\sqrt{a})^2 = a \,$ dan

$\sqrt{b} \times \sqrt{c} = \sqrt{bc}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya

$\begin{align} & \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a+b} \\ & = \frac{(a + b + 2\sqrt{ab}) + (a+b-2\sqrt{ab})}{a+b} \\ & = \frac{2a + 2b}{a+b} = \frac{2(a+b)}{a+b} = 2 \end{align}$
Jadi, nilainya adalah 2.

$\heartsuit$

Nomor 2

Jika

$k \,$ adalah bilangan real positif, serta

$k-7, \, 4, \,$ dan

$k+8 \,$ adalah berturut-turut suku pertama, ketiga, dan kelima suatu barisan geometri, maka hasil kali suku kedua dan suku keempat barisan tersebut adalah ...

$\spadesuit \,$ Barisan geometri :

$u_n = ar^{n-1}$

$\spadesuit \,$ Diketahui :

$u_1 = k-7, \, u_3= 4, \, u_5 = k+8$
Barisan geometri dengan suku berurutan, misalkan

$u_1,u_2,u_3, \,$ atau

$u_3,u_4,u_5, \,$ atau

$u_1, u_3, u_5, \,$ atau

$u_2, u_5, u_8 , \,$ dan lainnya pasti memiliki perbandingan yang sama.
Perbandingannya sama : suku-suku

$u_1, u_3, u_5$

$\begin{align} \frac{u_3}{u_1} & = \frac{u_5}{u_3} \\ (u_3)^2 & = u_1 .u_5 \\ (4)^2 & = (k-7)(k+8) \\ 16 & = k^2 + k - 56 \\ 0 & = k^2 + k - 72 \\ 0 & = (k+9)(k-8) \\ k & = -9 \vee k = 8 \end{align}$
karena

$k \,$ positif, maka

$k = 8 \,$ yang memenuhi.

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a \,$ dan

$r$

$a = u_1 = k - 7 = 8 - 7 = 1$

$u_3 = 4 \rightarrow ar^2 = 4 \rightarrow 1.r^2 = 4 \rightarrow r = 2$

$\spadesuit \,$ Menentukan suku kedua dan keempat

$\begin{align} u_2 & = ar = 1 . 2 = 2 \\ u_4 & = ar^3 = 1. 2^3 = 8 \end{align}$
Sehingga nilai :

$u_2 . u_4 = 2 . 8 = 16$
Jadi, hasil kali suku kedua dan keempat adalah 16.

$\heartsuit$

Nomor 3

Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm

$^2$

$\clubsuit \,$ gambarnya

$\clubsuit \,$ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.

$\clubsuit \,$ Menentukan luas arsiran

$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45.

$\heartsuit$

Nomor 4

Diketahui

${}^2 \log p = \frac{1}{3} \,$ dan

${}^3 \log q = \frac{1}{2}. \,$ Jika

$x = p^2 \,$ dan

$y = q^3, \,$ maka

${}^y \log x = .....$

$\spadesuit \,$ Definisi logaritma :

${}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c$
Sifat logaritma :

${{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b$

$\spadesuit \,$ Sifat Eksponen :

$(a^m)^n = a^{m.n}$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soalnya

$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} {}^y \log x & = {{}^3}^\frac{3}{2} \log 2^\frac{2}{3} \\ & = (\frac{2}{3} : \frac{3}{2}) . {}^3 \log 2 \\ & = (\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}) . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{4}{9}. {}^3 \log 2 \end{align}$
Jadi, nilai

${}^y \log x = \frac{4}{9} ({}^3 \log 2) . \heartsuit$

Nomor 5

Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....

$\clubsuit \,$ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.

$\clubsuit \,$ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang

$\clubsuit \,$ Menentukan rata-ratanya

$(\overline{x})$