Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 16 sampai 20

Nomor 16

Diketahui vektor

$\vec{p}=\vec{i}+-\vec{j}+2\vec{k}$ dan

$\vec{q}=2\vec{i}+-2\vec{j}+n\vec{k}$ . Jika panjang proyeksi vektor

$\vec{p}$ pada

$\vec{q}$ adalah 2, nilai

$n=...$

$\spadesuit \,$ Panjang proyeksi

$\vec{p}$ pada

$\vec{q}$ adalah

$|\vec{c}|=2$

$\begin{align*} |\vec{c}| &= \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|} \\ 2 &= \frac{1.2+(-1).(-2)+2.n}{\sqrt{2^2+(-2)^2+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} &= 4+2n \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sqrt{8+n^2} &= 2+n \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 8+n^2 &= (2+n)^2 \\ n^2+8 &= n^2 + 4n + 4 \\ 4n &= 4 \\ n&=1 \end{align*}$
Jadi, nilai

$n=1. \heartsuit$

Nomor 17

Persmaan bayangan lingkaran

$x^2+y^2=4$ bila dicerminkan terhadap garis

$x=2$ dan dilanjutkan dengan translasi

$\left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right)$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan transformasi :
Refleksi:

$(x,y) \overset{x=2}{\rightarrow} (x^\prime , y^\prime ) = (2.2-x,y)=(4-x,y)$

Translasi:

$(x^\prime , y^\prime ) \overset{T \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) }{\rightarrow} (x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime } ) =(4-x +(-3),y+4)=(1-x,y+4)$

$\clubsuit \,$ Diperoleh :

$(x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime } ) =(1-x,y+4) \left\{ \begin{array}{c} \Rightarrow x=1-x^{\prime \prime} \\ \Rightarrow y=y^{\prime \prime} - 4 \end{array} \right.$

$\clubsuit \,$ Menentukan bayangannya:
Awal :

$x^2+y^2=4$
Bayangan :

$\begin{align*} x^2+y^2 &= 4 \\ (1-x^{\prime \prime})^2 + (y^{\prime \prime} - 4)^2 &= 4 \\ (1-x)^2 + (y - 4)^2 &= 4 \\ x^2-2x+1+y^2-8y+16 &= 4 \\ x^2 + y^2 -2x - 8y + 13 &= 0 \end{align*}$
Jadi, bayangannya adalah

$x^2 + y^2 -2x - 8y + 13 = 0 .\heartsuit$

Nomor 18

Penyelesaian dari

$3^{2x+3}-84.3^x+9 \geq 0$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Misalkan

$p=3^x > 0$ :

$\begin{align*} 3^{2x+3}-84.3^x+9 &\geq 0 \\ 3^3.3^{2x}-84.3^x+9 &\geq 0 \\ 27.(3^x)^2-84.3^x+9 &\geq 0 \\ 27.(p)^2-84.p+9 &\geq 0 \, \, \text{(bagi 3)} \\ 9p^2-28p + 3 &\geq 0 \\ (9p-1)(p-3) & = 0 \\ p=\frac{1}{9} \, &\text{atau} \, p=3 \\ p=\frac{1}{9} \Rightarrow 3^x &= \frac{1}{9} \Rightarrow 3^x=3^{-2} \Rightarrow x=-2 \\ p=3 \Rightarrow 3^x &= 3 \Rightarrow x=1 \end{align*}$

sehingga :

$HP= \{ x \leq -2 \vee x \geq 1 \}$
Sehingga : penyelesaiannya adalah

$\{ x \leq -2 \vee x \geq 1 \} . \heartsuit$

Nomor 19

Penyelesaian pertidaksamaan

${}^{2}\log (x-2).{}^{x+1}\log 4 < 2- {}^{x+1}\log 4$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Sifat logaritma :

${}^{a}\log b = {}^{a^n}\log b^n$ dan

${}^{a}\log b . {}^{b}\log c = {}^{a}\log c$

$\clubsuit \,$ Syarat Logaritmanya :

$x-2 > 0 \Rightarrow x>2$

$x+1 > 0 \Rightarrow x>-1$

$x+1 \neq 1 \Rightarrow x\neq 0$
syarat yang memenuhi ketiganya adalah

$HP_1=\{ x > 2 \}$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal :

$\begin{align*} {}^{2}\log (x-2).{}^{x+1}\log 4 &< 2- {}^{x+1}\log 4 \\ {}^{x+1}\log 4. {}^{2^2}\log (x-2)^2 &< {}^{x+1}\log (x+1)^2- {}^{x+1}\log 4 \\ {}^{x+1}\log 4. {}^{4}\log (x^2-4x+4) &< {}^{x+1}\log \frac{(x+1)^2}{4} \\ {}^{x+1}\log (x^2-4x+4) &< {}^{x+1}\log \frac{x^2+2x+1}{4} \, \, ({}^{x+1}\log \, \text{dicoret} ) \\ (x^2-4x+4) &< \frac{x^2+2x+1}{4} \\ 4(x^2-4x+4) &< x^2+2x+1 \\ 3x^2-18x+15 &< 0 \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 -6x +5 &< 0 \\ (x-1)(x-5) &< 0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=5 \end{align*}$

$HP_2= \{ 1 < x < 5 \}$
Sehingga ,

$HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ 2 < x < 5 \}$
Jadi, penyelesaiannya adalah

$\{ 2 < x < 5 \} . \heartsuit$

$\clubsuit \,$ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai

$x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.

$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^{2}\log (2-2).{}^{2+1}\log 4 &< 2- {}^{2+1}\log 4 \\ {}^{2}\log 0.{}^{3}\log 4 &< 2- {}^{3}\log 4 \\ \text{ salah pada} \, & {}^{2}\log 0 \end{align*}$
yang ada

$x=2$ salah, opsi yang salah adalah A.

$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow {}^{2}\log (3-2).{}^{3+1}\log 4 &< 2- {}^{3+1}\log 4 \\ {}^{2}\log (1).{}^{4}\log 4 &< 2- {}^{4}\log 4 \\ 0.1 &< 2-1 \\ 0 & < 1 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada

$x=3$ benar, opsi yang salah adalah B, C dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah D yaitu

$HP=\{ 2 < x < 5 \} . \heartsuit$

Nomor 20

Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah ...

$\spadesuit \,$ Diketahui :

$a=20, b=4, n=15$

$\spadesuit \,$ Jumlah 15 baris (

$s_{15}$ ) :

$s_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$\begin{align*} s_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ s_{15} &= \frac{15}{2}(2.20+(15-1).4) \\ &= \frac{15}{2}(40+14.4) \\ &= \frac{15}{2}.(96) \\ &= \frac{15.96}{2} = 720 \end{align*}$
Jadi, totalnya ada 720 kursi .

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40