Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 328 tahun 2013

Nomor 1

Jika

$9^m+9^{m+1} = 20 \,$ , maka

$27^m = ...$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan persamaan: Sifat

$a^{m+n}=a^m.a^n$

$\begin{align} 9^m+9^{m+1} & = 20 \\ 9^m+9^m.9^1 & = 20 \\ 9^m+9.9^m & = 20 \\ (1+9)9^m & = 20 \\ 10.(3^2)^m & = 20 \, \, \, \, \text{(bagi 10)} \\ (3^m)^2 & = 2 \\ 3^m & = \sqrt{2} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$27^m$

$\begin{align} 27^m & = (3^3)^m \\ &= (3^m)^3 \\ &= (\sqrt{2})^3 \\ &= \sqrt{2} .\sqrt{2} .\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi,

$27^m = 2\sqrt{2}. \, \heartsuit$

Nomor 2

Jika

$\frac{\log xy }{\log w } = 2$ dan

$\frac{\log w }{\log y } = \frac{1}{4}$ , maka nilai

${}^{x}\log w \,$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Konsep logaritma
Sifat-sifat logaritma :
1).

$\frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } = {}^ a \log b$
2).

${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a }$
3).

${}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

${}^w \log y$

$\begin{align} \frac{\log w }{\log y } & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^y \log w & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^w \log y & = \frac{4}{1} = 4 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

${}^x \log w$

$\begin{align} \frac{\log xy }{\log w } & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^w \log xy & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ {}^w \log x + {}^w \log y & = 2 \\ {}^w \log x + 4 & = 2 \\ {}^w \log x & = 2 - 4 = -2 \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^x \log w & = \frac{1}{-2} = - \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai

${}^x \log w = - \frac{1}{2} . \heartsuit$

Nomor 3

Persamaan kuadrat

$x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \,$ mempunyai akar-akar

$x_1 \,$ dan

$x_2 \,$ . Jika

$x_1 < -2 \,$ dan

$x_2 < -2 , \,$ maka .....
(A)

$c < -\frac{19}{2} \,$ atau

$c > -9$
(B)

$-\frac{19}{2} < c \leq -9$
(C)

$-\frac{19}{2} < c \leq -7$
(D)

$-9 < c < 3$
(E)

$c > 3$

$\clubsuit \,$ PK :

$x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = -(c+3) , \, c = 9$
Operasi akar-akar :

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(c+3))}{1} = c + 3$

$x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9$

$\clubsuit \,$ Modifikasi akar-akarnya :

$x_1 < -2 \,$ dan

$x_2 < -2$

$x_1 < -2 \rightarrow x_1+2 < 0 \,$ (negatif)

$x_2 < -2 \rightarrow x_2+2 < 0 \,$ (negatif)

$\clubsuit \,$ Jumlahkan keduanya, hasilnya juga negatif

$\begin{align} (x_1+2)+(x_2+2) & < 0 \, \, \, \, \, \text{ (negatif)} \\ x_1 + x_2 + 4 & < 0 \\ (c + 3) + 4 & < 0 \\ c & < -7 \, \, \, \, \, \text{ ....(HP1)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Kalikan keduanya, hasilnya juga positif (negatif kali negatif)

$\begin{align} (x_1+2)(x_2+2) & > 0 \, \, \, \, \, \text{ (positif)} \\ x_1.x_2 + 2(x_1+x_2) + 4 & > 0 \\ (9) + 2(c+3) + 4 & > 0 \\ 2c + 19 & > 0 \\ c & > -\frac{19}{2} \, \, \, \, \, \text{ ....(HP2)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Karena akar-akarnya

$x_1 < -2 \,$ dan

$x_2 < -2 \,$ , maka akar-akarnya bisa berbeda atau bisa juga sama (kembar), sehinggga syaratnya :

$D \geq 0$

$\begin{align} D = b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-(c+3))^2 - 4.1.(9) & \geq 0 \\ c^2+6c + 9 - 36 & \geq 0 \\ c^2 + 6c - 27 & \geq 0 \\ (c-3)(c+9) & = 0 \\ c = 3 \vee c & = -9 \end{align}$

HP3 =

$\{ c \leq -9 \vee c \geq 3 \}$
Solusinya harus memenuhi ketiganya, yaitu irisannya.
Solusi :

$HP = HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ -\frac{19}{2} < c \leq -9 \}$
Jadi, solusinya HP

$= \{ -\frac{19}{2} < c \leq -9 \} . \heartsuit$

Nomor 4

Jika grafik fungsi kuadrat

$f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...

$\spadesuit \,$ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.

$\spadesuit \,$ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :

$\spadesuit \,$ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai

$a < 0$ .

$\spadesuit \,$ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai

$c > 0$ .

$\spadesuit \,$ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda

$a$ dan

$b$ tidak sama (harus berbeda). Karena

$a < 0$ , maka nilai

$b$ harus

$b >0$ .
Jadi, diperoleh

$a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit$

Nomor 5

Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika

$x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...

$\clubsuit \,$ Misalkan

$x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.

$\clubsuit \,$ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%

$x$

$\clubsuit \,$ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak =

$10\% . 75\% x$

$\clubsuit \,$ Total yang harus dibayar :

$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar

$(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15