Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 619 tahun 2015

Nomor 1

Diketahui

$a \,$ dan

$b \,$ adalah bilangan real positif. Jika

$\frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} = c \,$ , maka nilai

$c \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$c$

$\begin{align} \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} & = c \, \, \, \, \text{(distributif)} \\ \frac{(a-\sqrt{b})[a+\sqrt{b}] }{a^2 - b} & = c \\ \frac{ a^2 - b }{a^2 - b} & = c \\ 1 & = c \end{align}$
Jadi, nilai

$c = 1 . \heartsuit$

Nomor 2

Jika

$k \,$ adalah bilangan real positif, serta

$2k+1, \, 10, \,$ dan

$2k+7 \,$ adalah berturut-turut suku ketiga, keempat, dan kelima suatu barisan aritmetika, maka jumlah dua suku pertama barisan tersebut adalah ....

$\spadesuit \,$ Barisan aritmetika :

$u_n = a + (n-1)b \,$ dan

$s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$\spadesuit \,$ Diketahui :

$u_3 = 2k+1, \, u_4= 10, \, u_5 = 2k+7$
Selisih sama :

$\begin{align} u_4 - u_3 & = u_5 - u_4 \\ 2u_4 & = u_5 + u_3 \\ 2.(10) & = (2k+7) + (2k+1) \\ 20 & = 4k + 8 \\ 4k & = 12 \\ k & = 3 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a \,$ dan

$b$

$u_3 = 2k+1 = 2.3 + 1 = 7$

$b = u_4 - u_3 = 10 - 7 = 3$

$u_4 = 10 \rightarrow a+3b = 10 \rightarrow a + 3.3 = 10 \rightarrow a = 1$

$\spadesuit \,$ Menentukan jumlah dua suku pertama (

$s_2$ )

$\begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_2 & = \frac{2}{2}(2.1 + (2-1).3) \\ s_2 & = (2 + 3) \\ s_2 & = 5 \end{align}$
Jadi, jumlah dua suku pertamanya adalah 5.

$\heartsuit$

Nomor 3

Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm

$^2$

$\clubsuit \,$ gambarnya

$\clubsuit \,$ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.

$\clubsuit \,$ Menentukan luas arsiran

$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45.

$\heartsuit$

Nomor 4

Jika

$xy = 90 \,$ dan

$\log x - \log y = 1 , \,$ maka

$x - y = ....$

$\spadesuit \,$ konsep logaritma :
*). Definisi :

${}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c$
*). Sifat :

${}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c}$

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan

$xy = 90 \,$ .....pers(i)

$\begin{align} \log x - \log y & = 1 \\ {}^{10} \log \frac{x}{y} & = 1 \\ \frac{x}{y} & = 10^1 \\ \frac{x}{y} & = 10 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Kalikan kedua persamaan dan sederhanakan

$\begin{align} (xy)\times \left( \frac{x}{y} \right) & = 90 \times 10 \\ (x\not{y})\times \left( \frac{x}{\not{y}} \right) & = 90 \times 10 \\ x^2 & = 900 \\ x & = \sqrt{900} = 30 \end{align}$
Pers(i) :

$xy = 90 \rightarrow 30.y = 90 \rightarrow y = 3$
sehingga nilai

$x - y = 30 - 3 = 27$
Jadi, nilai

$x - y = 27 . \heartsuit$

Nomor 5

Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....

$\clubsuit \,$ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.

$\clubsuit \,$ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang

$\clubsuit \,$ Menentukan rata-ratanya

$(\overline{x})$