Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 1 sampai 5

Nomor 1

Jika

$1 - \cot \alpha = - \frac{1}{3} \,$ , maka nilai

$\sin 2 \alpha + \cos 2\alpha = ....$

$\clubsuit \,$ Kosep dasar trigonometri

$\cot \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{depan}} , \sin \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} , \, \cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}}$

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$\cot \alpha \,$ dan gambarnya

$\begin{align} 1 - \cot \alpha = - \frac{1}{3} \rightarrow \cot \alpha = \frac{4}{3} = \frac{\text{samping}}{\text{depan}} \end{align}$

sehingga :

$\sin \alpha = \frac{3}{5} \,$ dan

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha & = (2\sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2\sin ^2 \alpha) \\ & = (2\sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2 (\sin \alpha)^2) \\ & = (2 . \frac{3}{5} . \frac{4}{5}) + (1 - 2 (\frac{3}{5})^2) \\ & = \frac{24}{25} + (1 - \frac{18}{25}) \\ & = \frac{24}{25} + \frac{7}{25} \\ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha & = \frac{31}{25} \end{align}$
Jadi, nilai

$\sin 2 \alpha + \cos 2\alpha = \frac{31}{25} . \heartsuit$

Nomor 2

Persamaan kuadrat

$x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 \,$ mempunyai akar-akar

$x_1 \,$ dan

$x_2\,$ . Jika

$x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = -6 \,$ maka

${}^m \log 8 = ....$

$\spadesuit \,$ Sifat-sifat logaritma :

${}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c \, ; \, {}^a \log b^n = n . {}^a \log b$
dan

${}^a \log b = c \rightarrow {}^b \log a = \frac{1}{c}$

$\spadesuit \,$ PK :

$x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0$

$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-[- (3- {}^2 \log m )]}{1} = 3- {}^2 \log m \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{- {}^2 \log 16m}{1} = - {}^2 \log 16m \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$m \,$ , misalkan

$p = {}^2 \log m$

$\begin{align} x_1x_2^2 + x_1^2x_2 & = -6 \\ x_1.x_2(x_1 + x_2) & = -6 \\ (- {}^2 \log 16m)(3- {}^2 \log m) & = -6 \\ (- [{}^2 \log 16 + {}^2 \log m])&(3- {}^2 \log m) = -6 \\ (- [4 + {}^2 \log m])(3- {}^2 \log m) & = -6 \\ (- 4 - {}^2 \log m)(3- {}^2 \log m) & = -6 \, \, \, \text{ (subs. } p = {}^2 \log m ) \\ (- 4 - p)(3- p) & = -6 \\ p^2 + p -12 & = -6 \\ p^2 + p -6 & = 0 \\ (p-2)(p+3) & = 0 \\ p=2 \vee p & = -3 \\ p=2 \rightarrow {}^2 \log m & = 2 \rightarrow {}^m \log 2 = \frac{1}{2} \\ p=-3 \rightarrow {}^2 \log m & = -3 \rightarrow {}^m \log 2 = - \frac{1}{3} \\ \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

${}^m \log 8$

$\begin{align} {}^m \log 8 & = {}^m \log 2^3 = 3. {}^m \log 2 \\ {}^m \log 2 & = \frac{1}{2} \rightarrow {}^m \log 8 = 3.{}^m \log 2 = 3.\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ {}^m \log 2 & = - \frac{1}{3} \rightarrow {}^m \log 8 = 3.{}^m \log 2 = 3.(- \frac{1}{3}) = -1 \end{align}$
Jadi, nilai

${}^m \log 8 \,$ adalah

$\frac{3}{2} \,$ atau -1 .

$\heartsuit$

Nomor 3

Sebuah garis menyinggung grafik

$f(x) = x^2 + 3x - 1 \,$ di titik (

$2a-1,b$ ) dan menyinggung grafik

$g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \,$ di titik (

$a,c$ ). Nilai

$a + b = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar gradien garis singgung
Gradien garis singgung di (

$x_1,y_1$ ) pada kurva

$y = f(x) \,$ adalah

$m = f^\prime (x_1)$

$\clubsuit \,$ Fungsi :

$f(x) = x^2 + 3x - 1 \rightarrow f^\prime ( x ) = 2x + 3$
gradien di titik (

$2a-1,b$ )

$\begin{align} m_1 & = f^\prime ( 2a-1 ) \\ & = 2.(2a-1) + 3 \\ m_1 & = 4a + 1 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Fungsi :

$g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \rightarrow g^\prime ( x ) = x^2 + 4$
gradien di titik (

$a,c$ )

$\begin{align} m_2 & = g^\prime ( a) \\ m_2 & = a^2 + 4 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Karena garisnya cuma satu, maka gradien garis singgungnya sama

$\begin{align} m_2 & = m_1 \\ a^2 + 4 & = 4a + 1 \\ a^2 -4a + 3 & = 0 \\ (a-1)(a-3) & = 0 \\ a=1 \vee a & = 3 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi titik (

$2a-1,b$ ) ke fungsi

$f(x)$

$\begin{align} (2a-1,b) \rightarrow f(x) & = x^2 + 3x - 1 \\ b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ a = 1 \rightarrow b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ b & = (2.1-1)^2 + 3(2.1-1) - 1 \\ b & = 1 + 3 - 1 = 3 \\ \text{sehingga } \, a+b & = 1 + 3 = 4 \\ a = 3 \rightarrow b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ b & = (2.3-1)^2 + 3(2.3-1) - 1 \\ b & = 25 + 15 - 1 = 39 \\ \text{sehingga } \, a+b & = 3 + 39 = 42 \end{align}$
Jadi, nilai

$a + b \,$ adalah 4 atau 42.

$\heartsuit$

Nomor 4

Jika

$a = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^2-4}{2-\sqrt{x+2}} \,$ maka nilai

$4 - a \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar
Turunan :

$y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2 \sqrt{f(x)} }$
sehingga turunan dari :

$y = \sqrt{x+2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$
Penerapan turunan pada Limit :

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \,$ maka solusinya

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f ^\prime (x)}{g^\prime (x)} \,$
sampai hasilnya tidak

$\frac{0}{0} \,$ lagi.

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\begin{align} a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^2-4}{2-\sqrt{x+2}} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2x}{- \frac{1}{2\sqrt{x+2}}} \\ a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } - 4x \sqrt{x+2} \\ a & = - 4.2 \sqrt{2+2} = -16 \end{align}$
Sehingga nilai :

$4 - a = 4 - (-16) = 20$
Jadi,

$4 - a = 20 . \heartsuit$

Nomor 5

Jika matriks

$P = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \,$ dan

$Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \,$ serta

$P^{-1} \,$ invers matriks

$P \,$ , maka determinan untuk matriks

$QP^{-1} \,$ adalah ....

Untuk penyelesaian soal determinan ini, kita tidak perlu mencari invers dan hasil perkaliannya terlebih dahulu karena akan memakan waktu yang cukup lama, sehingga penyelesaiannya langsung menggunakan sifat-sifat determinan.

$\clubsuit \,$ Konsep Matriks
Determinan :

$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow \text{Det}(A) = |A| = a.d - b.c$
Sifat-sifat Determinan :

$|A.B| = |A|.|B| \, \, \,$ dan

$\, |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

$\clubsuit \,$ Menentukan determinan kedua matriks

$P = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \rightarrow |P| = 3.2 - 4.1 = 6-4=2$

$Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |Q| = 1.3 - (-2.0) = 3-0=3$

$\clubsuit \,$ Menentukan determinan soal dengan sifatnya

$\begin{align} |QP^{-1}| & = |Q| . |P^{-1}| \\ & = |Q| . \frac{1}{|P|} \\ & = 3 . \frac{1}{2} \\ |QP^{-1}| & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, determinan untuk matriks

$QP^{-1} \,$ adalah

$\frac{3}{2} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20