Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 442 tahun 2013

Nomor 1

Jika

$8^m = 27 \,$ , maka

$2^{m+2} + 4^m = ...$

$\clubsuit \,$ Sifat - sifat eksponen :

$a^{m+n}=a^m.a^n; \, \, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m ;$

$a^n = b^n \rightarrow a = b$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan persamaan

$\begin{align} 8^m & = 27 \\ (2^3)^m & = 3^3 \\ (2^m)^3 & = 3^3 \\ 2^m & = 3 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} 2^{m+2} + 4^m & = 2^m . 2^2 + (2^2)^m \\ & = 4.2^m + (2^m)^2 \\ & = 4.3 + (3)^2 \\ & = 12 + 9 \\ 2^{m+2} + 4^m & = 21 \end{align}$
Jadi,

$2^{m+2} + 4^m = 21 . \heartsuit$

Nomor 2

Jika

${}^a \log b + {}^b \log a = 3 , \,$ maka nilai

$\left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 \,$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Konsep dasar

$p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq$

${}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c$

$\spadesuit \,$ Misalkan

$p = {}^a \log b \,$ dan

$q = {}^b \log a$

$\begin{align} & {}^a \log b + {}^b \log a = 3 \\ & p + q = 3 \\ & p.q = {}^a \log b . {}^b \log a = {}^a \log a 1 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = p^2 + q^2 \\ & = (p+q)^2 - 2pq \\ & = (3)^2 - 2.1 \\ & = 9 - 2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai

$\left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 = 7. \heartsuit$

Cara II : Langsung kuadratkan

$\spadesuit \,$ Kuadratkan kedua ruas

$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a & = 3 \\ \left( {}^a \log b + {}^b \log a \right)^2 & = 3^2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2.{}^a \log b . {}^b \log a & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2.1 & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2 & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 9 - 2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai

$\left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 = 7. \heartsuit$

Nomor 3

Persamaan kuadrat

$x^2 + ax - 2a^2 = 0 \,$ mempunyai akar-akar

$x_1 \,$ dan

$x_2 \,$ . Jika

$x_1+2x_2 = 1 , \,$ maka nilai

$a \,$ adalah .....

$\clubsuit \,$ PK :

$x^2 + ax - 2a^2 = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = a , \, c = -2a^2$
Operasi akar-akar :

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a \,$ ....pers(i)
Diketahui :

$x_1+2x_2 = 1 \,$ ....pers(ii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi kedua persamaan

$\begin{array}{cc} x_1+2x_2 = 1 & \\ x_1 + x_2 = - a & - \\ \hline x_2 = 1 + a & \end{array}$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x_2 = 1 + a \,$ ke PK

$\begin{align} x^2 + ax - 2a^2 & = 0 \\ (1+a)^2 + a.(1+a) - 2a^2 & = 0 \\ a^2 + 2a + 1 + a^2 + a - 2a^2 & = 0 \\ 3a + 1 & = 0 \\ 3a = -1 \rightarrow a & = - \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai

$a = - \frac{1}{3} . \heartsuit$

Nomor 4

Jika grafik fungsi kuadrat

$f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...

$\spadesuit \,$ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.

$\spadesuit \,$ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :

$\spadesuit \,$ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai

$a < 0$ .

$\spadesuit \,$ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai

$c > 0$ .

$\spadesuit \,$ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda

$a$ dan

$b$ tidak sama (harus berbeda). Karena

$a < 0$ , maka nilai

$b$ harus

$b >0$ .
Jadi, diperoleh

$a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit$

Nomor 5

Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika

$x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...

$\clubsuit \,$ Misalkan

$x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.

$\clubsuit \,$ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%

$x$

$\clubsuit \,$ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak =

$10\% . 75\% x$

$\clubsuit \,$ Total yang harus dibayar :

$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar

$(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15