Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 611 tahun 2014

Nomor 1

Tiga puluh data mempunyai rata-rata

$p$ . Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah

$p+0,1$ ; 40% lainnya adalah

$p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah

$p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah

$p+q$ , maka

$q=...$

$\clubsuit \,$ Rumus rata-rata gabungan :

$\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$

$\clubsuit \,$ Data dibagi menjadi 4 kelompok :

$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$q$

$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi,

$q=\frac{7}{30}. \heartsuit$

Nomor 2

Nilai

$\frac{1}{2}+\left( {}^{3}log8 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4}log5 \right) - 4\, {}^{9}log45 \,$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Sifat logaritma:

${}^{a^m}log \, b^n = \frac{n}{m}. {}^{a}log \, b$ atau

${}^{a^n}log \, b^n = {}^{a}log \, b$ dan

${}^{a}log \, b . {}^{b}log \, c = {}^{a}log \, c$

$\spadesuit \,$ Menyelesaiakan soal:

$\begin{align} &\frac{1}{2}+\left( {}^{3}log8 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4}log5 \right) - 4\, {}^{9}log45 \\ &= \frac{1}{2}+\left( {}^{3}log2^3 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4^\frac{1}{2}}log5^\frac{1}{2} \right) - 4\, {}^{9}log45 \\ &= \frac{1}{2}+\left( 3.{}^{3}log2 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{2}log5^\frac{1}{2} \right) - 4\, {}^{9}log45 \\ &= \frac{1}{2}+\left( 3.{}^{3}log2 \right) \left( {}^{2}log3.5^\frac{1}{2} \right) - 4\, {}^{9}log(3^2.5) \\ &= \frac{1}{2}+\left( 3.{}^{3}log3.5^\frac{1}{2} \right) - {}^{9}log(3^2.5)^4 \\ &= {}^{9}log9^\frac{1}{2}+3.{}^{3^2}log\left( 3.5^\frac{1}{2} \right)^2 - {}^{9}log(3^8.5^4) \\ &= {}^{9}log3+3.{}^{3^2}log(3^2.5) - {}^{9}log(3^8.5^4) \\ &= {}^{9}log3+{}^{3^2}log(3^2.5)^3 - {}^{9}log(3^8.5^4) \\ &= {}^{9}log3+{}^{3^2}log(3^6.5^3) - {}^{9}log(3^8.5^4) \\ &= {}^{9}log\frac{3.3^6.5^3}{3^8.5^4} \\ &= {}^{9}log\frac{1}{15} \\ &= {}^{9}log(15)^{-1} \\ &= -{}^{9}log(15) \end{align}$
Jadi,

$\frac{1}{2}+\left( {}^{3}log8 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4}log5 \right) - 4\, {}^{9}log45 = -{}^{9}log(15). \heartsuit$

Nomor 3

Jika fungsi

$f(x)=a^2x^2-12x+c^2$ menyinggung sumbu X di

$x=\frac{2}{3}$ , maka

$a^2-c^2=...$

$\clubsuit \,$ Grafik menyinggung sumbu

$X$ di

$x=\frac{2}{3}$ , sehingga titiknya

$(\frac{2}{3},0)$ dan memiliki akar kembar (akarnya cuma satu)

$\clubsuit \,$ Substitusi titik

$(\frac{2}{3},0)$ ke fungsinya :

$\begin{align*} f(x)&=a^2x^2-12x+c^2 \\ 0&= a^2\left( \frac{2}{3} \right)^2-12.\left( \frac{2}{3} \right)+c^2 \\ 0&=\frac{4}{9}a^2+c^2-8 \\ c^2&=8- \frac{4}{9}a^2 \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Memiliki akar kembar , syarat

$D=0 \Rightarrow b^2-4ac=0$

$\begin{align*} b^2-4ac&=0 \\ (-12)^2-4.a^2.c^2 &=0 \\ a^2.c^2 &=36 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Misalkan

$a^2=p$ dan

$c^2=q$ , pers(i) dan (ii) menjadi :
pers(i) :

$c^2 =8- \frac{4}{9}a^2 \Rightarrow q =8- \frac{4}{9}p$
pers(ii) :

$a^2.c^2 =36 \Rightarrow p.q=36$

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii), diperoleh

$p=9$ dan

$q=4$
sehingga

$a^2-c^2=p-q=9-4=5$
Jadi,

$a^2-c^2=5. \heartsuit$

Cara II :

$\clubsuit \,$ Grafik menyinggung sumbu

$X$ di

$x=\frac{2}{3}$ , sehingga titiknya

$(\frac{2}{3},0)$ yang merupakan titik puncak parabola (

$x_p,y_p$ ) dengan

$\, x_p = \frac{-b}{2a}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a^2$ dengan titik puncak

$(x_p,y_p) = (\frac{2}{3},0) \,$

$x_p = \frac{-b}{2a} \rightarrow \frac{2}{3} = \frac{-(-12)}{2a^2} \rightarrow a^2 = 9$
sehingga nilai

$a^2 = 9$

$\clubsuit \,$ Substitusi titik

$(\frac{2}{3},0)$ ke fungsinya :

$\begin{align} f(x)&=a^2x^2-12x+c^2 \\ 0&= a^2\left( \frac{2}{3} \right)^2-12.\left( \frac{2}{3} \right)+c^2 \\ 0&=\frac{4}{9}a^2+c^2-8 \\ c^2&=8- \frac{4}{9}a^2 \, \, \text{(substitusi } \, a^2 = 9 ) \\ c^2&=8- \frac{4}{9}.9 = 8 - 4 = 4 \end{align}$
nilai

$c^2 = 4$
sehingga

$a^2-c^2=9-4=5$
Jadi, nilai

$a^2-c^2=5. \heartsuit$

Nomor 4

Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...

$\spadesuit \,$ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya :

$f(x,y)=x+y$
Kendala:

$x+2y \leq 20$ dan

$1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu

$X$ dan sumbu

$Y$ :

$x+2y \leq 20 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok}$

$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok}$

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan

$x+2y = 20$ dan

$3x+y = 30$ diperoleh

$x=4,y=18$ , sehingga titik potongnya (4,18)

$\spadesuit \,$ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :

$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20$

$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10$

$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .

$\heartsuit$

Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.

$\spadesuit \,$ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya :

$f(x,y)=x+y$
Fungsi kendala:

$x+2y \leq 40$ dan

$1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$

$\spadesuit \,$ Memodifikasi fungsi kendalanya

$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array}$
Dari bentuk

$x + y \leq 22, \,$ artinya nilai maksimum dari

$x + y \,$ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .

$\heartsuit$

Nomor 5

Jika

$x_1$ dan

$x_2$ akar-akar persamaan kuadrat

$x^2+3x+1=0$ , maka persamaan kuadrat dengan akar-akar

$2+\frac{x_2}{x_1}$ dan

$2+\frac{x_1}{x_2}$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Menentukah jumlah dan kali akar

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-3}{1}=-3$ dan

$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$

$\clubsuit \,$ Persamaan kuadrat dengan akar-akar :

$2+\frac{x_2}{x_1}$ dan

$2+\frac{x_1}{x_2}$

$\begin{align*} HJ &= \left( 2+\frac{x_2}{x_1} \right) + \left( 2+\frac{x_1}{x_2} \right) = 4 + \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1.x_2} \\ &= 4 + \frac{(x_1 + x_2)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2} = 4 + \frac{(-3)^2-2.1}{1}=11 \end{align*}$

$\begin{align*} HK &=\left( 2+\frac{x_2}{x_1} \right) . \left( 2+\frac{x_1}{x_2} \right) = 4 + \frac{2x_1}{x_2} + \frac{2x_2}{x_1} +1 \\ &= 5 + 2.\frac{(x_1 + x_2)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2} = 5 + 2.\frac{(-3)^2-2.1}{1}=19 \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan kuadrat :

$x^2-(HJ)x+HK=0$