Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012

Nomor 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = ...$

$\clubsuit \,$ Rumus dasar

$\sin ^2x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1-\cos ^2x = \sin ^2x$

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$

$\clubsuit \,$ Menentukan limitnya

$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ^2x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x} . \frac{\sin x}{x} . \frac{1}{ \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right) } \\ & = \frac{1}{1} . \frac{1}{1} . \frac{1}{ \tan \left( 0 +\frac{\pi }{3} \right) } = \frac{1}{ \tan 60^o } \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, nilai

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = \frac{1}{3}\sqrt{3} .\heartsuit$

Nomor 2

Di dalam kotak terdapat 1 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah ...

$\spadesuit \,$ Ada bola : 1B6M2P . Akan diambil 7 bola

$n(S) = C_7^9 = 36$

$\spadesuit \,$ Harapannya : M = 2

$\times$ P (merah dua kali putih), dibagi dua kasus
Kasus 1 :
putih 1, maka merah 2 dan biru harus 4 (umlahnya harus 7 bola), ini tidak mungkin karena bola biru hanya ada 1.
Kasus 2 :
putih 2, merah 4 dan biru 1 (memenuhi)

$n(A) =$ 2P4M1B =

$C_2^2.C_4^6.C_1^1 = 15$
Sehingga peluangnya :

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$
Jadi, peluangnya adalah

$\frac{5}{12} . \, \heartsuit$

Nomor 3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

$y=x^2$ ,

$y=1$ , dan

$x=2$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Gambarnya

$\clubsuit \,$ Menentukan luas arsiran

$L_\text{arsiran} = \int \limits_1^2 (y_1 - y_2) dx = \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx$
Jadi, luasnya adalah

$\int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx . \heartsuit$

Nomor 4

$\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = ...$

$\spadesuit \,$ Rumus dasar :

$\sin ^2x + \cos ^2 x = 1$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} \frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} & = \frac{\sin ^2x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x }{\sin ^2x + \cos ^2 x - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + 2\sin x \cos x }{1 - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } \end{align}$
Jadi,

$\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } . \heartsuit$

Nomor 5

Lingkaran

$(x-3)^2+(y-4)^2=25$ memotong sumbu X di titik

$A$ dan

$B$ . Jika

$P$ adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka

$\cos \angle APB = ...$

$\clubsuit \,$ Unsur-unsur lingkaran :

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , pusat (

$a,b$ ) dan jari-jari

$r$

$(x-3)^2+(y-4)^2=25$ , pusat (

$3,4$ ) dan jari-jari

$r=\sqrt{25} = 5$

$\clubsuit \,$ gambarnya

$\clubsuit \,$ Aturan cosinus pada

$\Delta ABC$

$\begin{align} AB^2 & = AP^2+ BP^2 - 2.AP.BP \cos APB \\ \cos APB & = \frac{AP^2 + BP^2 - AB^2}{2.AP.BP} \\ & = \frac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2.5.5} = \frac{25 + 25 - 36}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} \end{align}$
Jadi, nilai

$\cos APB = \frac{7}{25} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15