Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 554 tahun 2014

Nomor 1

Banyaknya akar real

$f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.

$\clubsuit \,$ Bentuk pemfaktoran :

$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\,$ atau

$\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan

$n$ genap

$\clubsuit \,$ Untuk menentukan akar-akarnya, maka

$f(t)=0$

$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Sehingga akar-akarnya:

$t=0,t=1,t=-1$ dan

$t^2=-1$ (tidak real) serta

$t^4=-1$ (tidak real).

$\clubsuit \,$ Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1.

$\, \heartsuit$

Nomor 2

Jika

$C(t)=\frac{1}{t} \int \limits_0^t \left( f(s)+g(s) \right) ds$ dan

$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{C(t_0+a)-C(t_0)}{a}=0$ , maka

$C(t_0)=...$

$\spadesuit \,$ Misal hasil integral

$f(s)$ adalah

$F(s)$ dan

$g(s)$ adalah

$G(s)$ .

$\begin{align} C(t)&=\frac{1}{t} \int \limits_0^t \left( f(s)+g(s) \right) ds \\ C(t)&=\frac{1}{t} \left[ F(s)+G(s) \right]_0^t \\ C(t)&=\frac{1}{t} \left[ F(t)+G(t)-F(0)-G(0) \right] \\ t.C(t)&=\left[ F(t)+G(t)-F(0)-G(0) \right] \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \, F(0)$ dan

$G(0)$ adalah konstanta, sehingga turunannya sama dengan nol, dan turunan

$F(t),G(t)$ berturut-turut adalah

$f(t)$ dan

$g(t)$

$\spadesuit \,$ Turunan pers(i) terhadap

$t$ :

$\, \, \, 1.C(t)+t.C^\prime(t)=f(t)+g(t)$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan limit dengan cara diturunkan terhadap

$a$ :

$\begin{align} \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{C(t_0+a)-C(t_0)}{a}&=0 \\ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{C^\prime(t_0+a)}{1}&=0 \\ C^\prime(t_0+0) &= 0 \\ C^\prime(t_0) &= 0 \, \text{....pers(iii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Gunakan pers(iii) dan substitusikan

$t=t_0$ ke pers (ii) :

$\begin{align} 1.C(t)+t.C^\prime(t)&=f(t)+g(t) \\ C(t_0)+t_0.C^\prime(t_0)&=f(t_0)+g(t_0) \\ C(t_0)+t_0.0&=f(t_0)+g(t_0) \\ C(t_0)&=f(t_0)+g(t_0) \end{align}$
Jadi,

$C(t_0)=f(t_0)+g(t_0) . \, \heartsuit$

Nomor 3

Banyak cara menyusun 4 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah...

$\clubsuit \,$ Ada 3 jenis buku (mat, fis, kim) yang akan disusun dengan susunan sebanyak

$3!$ cara = 6 cara

$\clubsuit \,$ Masing-masing buku berkelompok dengan penyusunan :
4 mat

$\Rightarrow \,$ 4! cara = 24 cara
3 fis

$\Rightarrow \,$ 3! cara = 6 cara
2 kim

$\Rightarrow \,$ 2! cara = 2 cara

$\clubsuit \,$ Jadi total penyusunan buku-buku tersebut :
3! . (4! . 3!. 2!) = 6 . 24. 6. 2 = 1728 cara.

$\heartsuit$

Nomor 4

Jika

$3sinx+4cosy=5$ , maka nilai maksimum

$3cosx+4siny$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Kuadratkan persamaan

$3sinx+4cosy=5$ :

$\begin{align} (3sinx+4cosy)^2&=5^2 \\ 9sin^2x+16cos^2y+24sinxcosy&=25 \, \, (sin^2z+cos^2z=1 )\\ 9(1-cos^2x)+16(1-sin^2y)+24sinxcosy&=25 \\ 9-9cos^2x+16-16sin^2y+24sinxcosy&=25 \\ 9cos^2x+16sin^2y&=24sinxcosy \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Misalkan

$f=3cosx+4siny$ , dikuadratkan:

$\begin{align} f^2&=(3cosx+4siny )^2 \\ f^2&=9cos^2x+16sin^2y+24cosxsiny \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers (i) ke pers(ii) :

$\begin{align} f^2&=9cos^2x+16sin^2y+24cosxsiny \\ &=24sinxcosy + 24cosxsiny \\ &=24(sinxcosy + cosxsiny) \\ f^2&=24sin(x+y) \end{align}$

$\spadesuit \,$ Nilai maksimum dari ,

$y=Asinf(x) \Rightarrow y_{max}=|A|$ :

$\begin{align} f^2&=24sin(x+y) \\ f^2_{max}&=|24| \\ f^2_{max}&=24 \\ f_{max}&=\sqrt{24} \\ f_{max}&=2\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, nilai maksimum dari

$3cosx+4siny=2\sqrt{6}. \heartsuit$

Nomor 5

Diberikan kubus

$ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk

$3p$ . Titik-titik P, Q, dan R masing-masing pada FB, FG, dan AD sehingga

$BP=GQ=DR=p$ . Misalkan

$\beta$ adalah irisan bidang yang melalui P, Q, dan R. Luas alas yang berada di bawah bidang

$\beta$ adalah ...

$p^2$ .

$\clubsuit \,$ Gambar bidang irisan (bidang

$\beta$ ):

$\clubsuit \,$ Bidang alas di bawah bidang

$\beta$

$\begin{align*} L_{\text{alas}}&=L_{ABCD}-(L_{AKR}+L_{LCM}) \\ &= (3p)^2-(\frac{1}{2}.2p.2p+\frac{1}{2}.p.p) \\ L_{\text{alas}}&=9p^2-\frac{5}{2}p^2 = \frac{13}{2}p^2 \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Sehingga: