Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013

Nomor 1

Jika

$4^{m+1}+4^m = 15 \,$ , maka

$8^m = ...$

$\clubsuit \,$ Sifat - sifat eksponen :

$a^{m+n}=a^m.a^n; \, \, \, \, (a^m)^n = a^{m.n}; \, \, \, \, a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b}$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan persamaan

$\begin{align} 4^{m+1}+4^m &= 15 \\ 4^1 . 4^m + 4^m & = 15 \\ 4. 4^m + 4^m & = 15 \\ (4 +1) 4^m & = 15 \\ 5. 4^m & = 15 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 4^m & = 3 \\ (2^2)^m & = 3 \\ 2^{2m} & = 3 \\ (2^m)^2 & = 3 \\ 2^m & = \sqrt{3} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$8^m$

$\begin{align} 8^m & = (2^3)^m \\ &= (2^m)^3 \\ &= (\sqrt{3})^3 \\ &= \sqrt{3} .\sqrt{3} .\sqrt{3} \\ &= 3\sqrt{3} \end{align}$
Jadi,

$8^m = 3\sqrt{3}. \, \heartsuit$

Nomor 2

Jika

$\frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } = 2$ dan

${}^{xy}\log w = \frac{2}{5}$ , maka nilai

$\frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } \,$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Konsep logaritma
Definisi :

${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
Sifat-sifat logaritma :
1).

$\frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } = {}^ a \log b$
2).

${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a }$
3).

${}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soal

$\begin{align} \frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^w \log x & = 2 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ {}^{xy}\log w & = \frac{2}{5} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^w \log (xy) & = \frac{5}{2} \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ {}^w \log x + {}^w \log y & = \frac{5}{2} \, \, \, \, \text{(dari pers(i))} \\ 2 + {}^w \log y & = \frac{5}{2} \\ {}^w \log y & = \frac{5}{2} - 2 \\ {}^w \log y & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^y \log w & = \frac{2}{1} = 2 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soalnya

$\begin{align} \frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } & = {}^y \log w \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai

$\frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } = 2 . \heartsuit$

Nomor 3

Jika selisih akar-akar

$x^2 + 2cx + (19+c) = 0 \,$ adalah 2, maka nilai

$30 + c - c^2 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ PK :

$x^2 + 2cx + (19+c) = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = 2c , \, c = (19+c)$
Konsep selisih akar :

$x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} \,$ dengan

$D = b^2 - 4ac$

$\clubsuit \,$ Selisih akar-akarnya = 2

$\begin{align} x_1 - x_2 & = 2 \\ \frac{\sqrt{D}}{a} & = 2 \\ \sqrt{D} & = 2 a \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ D & = 4a^2 \\ b^2 - 4ac & = 4a^2 \\ (2c)^2 - 4.1.(19+c) & = 4. 1^2 \\ 4c^2 - 4(19+c) & = 4 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ c^2 - 19 - c & = 1 \\ c^2 - c & = 20 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} 30 + c - c^2 & = 30 - ( c^2 - c ) \\ & = 30 - ( 20) = 10 \end{align}$
Jadi, nilai

$30 + c - c^2 = 10 . \heartsuit$

Nomor 4

Jika grafik fungsi kuadrat

$f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...

$\spadesuit \,$ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.

$\spadesuit \,$ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :

$\spadesuit \,$ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai

$a < 0$ .

$\spadesuit \,$ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai

$c > 0$ .

$\spadesuit \,$ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda

$a$ dan

$b$ tidak sama (harus berbeda). Karena

$a < 0$ , maka nilai

$b$ harus

$b >0$ .
Jadi, diperoleh

$a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit$

Nomor 5

Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika

$x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...

$\clubsuit \,$ Misalkan

$x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.

$\clubsuit \,$ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%

$x$

$\clubsuit \,$ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak =

$10\% . 75\% x$

$\clubsuit \,$ Total yang harus dibayar :

$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar

$(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15