Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 663 tahun 2014

Nomor 1

Himpunan semua bilangan real

$x \,$ yang memenuhi

$x^2 + \frac{1}{x^2} \leq 2 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Menentukan akar-akar

$\begin{align} x^2 + \frac{1}{x^2} & \leq 2 \\ x^2 + \frac{1}{x^2} -2 & \leq 0 \\ \frac{x^4}{x^2} + \frac{1}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} & \leq 0 \\ \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^2} & \leq 0 \\ \frac{(x^2 - 1)(x^2 - 1)}{x^2} & \leq 0 \\ \text{akar-akarnya : } & \\ x^2 - 1 = 0 \rightarrow x & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \\ x^2 = 0 \rightarrow x & = 0 \end{align}$

Dari pertidaksamaan, yang diminta adalah kurang dari sama dengan nol, artinya nilai di garis bilangan harus negatif. Akan tetapi nilai di garis bilangan tidak ada yang negatif, sehingga tidak ada yang memenuhi. Namun, pertidaksamaannya memuat sama dengan nol, artinya solusinya hanya akar-akarnya saja (yang memuat bulatan penuh pada garis bilangan), sehingga solusinya HP = {-1, 1}.
Jadi, solusinya HP

$= \{ -1, 1 \}. \heartsuit$

Nomor 2

Jika

$\cos x = 2 \sin x \,$ , maka nilai

$\sin x \cos x \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\tan x$ dengan

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ :

$\cos x=2\sin x \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{2}$

$\spadesuit \,$ Buat segitiga dari nilai

$\tan x=\frac{1}{2}$ :

sehingga

$\sin x\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai

$\sin x\cos x=\frac{2}{5}. \, \heartsuit$

Nomor 3

Tujuh bilangan berjumlah 133 membentuk barisan aritmetika. Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut. Jumlah semua bilangan di barisan baru adalah .....

$\clubsuit \,$ Misalkan barisan aritmetikanya :

$a-3b, \, a-2b, \, a-b, \, a , \, a+b, \, a+2b, \, a+3b$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\begin{align} \text{jumlah ketujuh sukunya } & = 133 \\ (a-3b)+(a-2b)+(a-b)+a & \\ +(a+b)+(a+2b)+(a+3b) & = 133 \\ 7a & = 133 \\ a & = \frac{133}{7} \\ a & = 19 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut, diperoleh barisan baru :

$u_1, \frac{u_1+u_2}{2}, u_2 , \frac{u_2+u_3}{2} , u_3 , \frac{u_3+u_4}{2} , u_4, \frac{u_4+u_5}{2} , u_5 , \frac{u_5+u_6}{2}, u_6 , \frac{u_6+u_7}{2} , u_7$
Diubah dalam bentuk

$a \,$ dan

$b \,$ :

$a-3b, \, \frac{2a-5b}{2} , \, a-2b, \, \frac{2a-3b}{2} , \, a-b, \, \frac{2a-b}{2}, \, a ,$

$\frac{2a+b}{2} , \, a+b, \, \frac{2a+3b}{2} , \, a+2b, \, \frac{2a + 5b}{2} , \, a+3b$

$\clubsuit \,$ Menentukan jumlah barisan barunya

$\begin{align} \text{jumlah } & = (a-3b)+\frac{2a-5b}{2}+(a-2b)+\frac{2a-3b}{2} \\ & + (a-b)+\frac{2a-b}{2} + a +\frac{2a+b}{2} + (a+b) \\ & +\frac{2a+3b}{2} + (a+2b)+\frac{2a + 5b}{2}+(a+3b) \\ & = 13a \\ & = 13 \times 19 \\ & = 247 \end{align}$
Jadi, jumlah semua bilangan di barisan baru adalah 247.

$\heartsuit$

Cara II :

$\clubsuit \,$ Jumlah

$n \,$ suku pertama barisan aritmetika yang diketahui suku tengah :

$s_n = n . u_t \,$ , dengan

$n \$ menyatakan banyak suku dan

$u_t \,$ adalah suku tengah.

$\clubsuit \,$ Misalkan barisan aritmetikanya :

$a-3b, \, a-2b, \, a-b, \, a , \, a+b, \, a+2b, \, a+3b$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\begin{align} \text{jumlah ketujuh sukunya } & = 133 \\ (a-3b)+(a-2b)+(a-b)+a & \\ +(a+b)+(a+2b)+(a+3b) & = 133 \\ 7a & = 133 \\ a & = \frac{133}{7} \\ a & = 19 \end{align}$
artinya

$u_4 = 19 \,$ sebagai suku tengah barisan tersebut.

$\clubsuit \,$ Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut, diperoleh barisan baru :

$u_1, \frac{u_1+u_2}{2}, u_2 , \frac{u_2+u_3}{2} , u_3 , \frac{u_3+u_4}{2} , u_4, \frac{u_4+u_5}{2} , u_5 , \frac{u_5+u_6}{2}, u_6 , \frac{u_6+u_7}{2} , u_7$
artinya suku tengahnya adalah

$u_4 \,$ juga, sehingga

$u_t = u_4 = 19 \,$ dengan 13 suku

$\clubsuit \,$ Menentukan jumlah barisan barunya

$\begin{align} s_n & = n \times u_t \\ s_{13} & = 13 \times 19 \\ & = 247 \end{align}$
Jadi, jumlah semua bilangan di barisan baru adalah 247.

$\heartsuit$

Nomor 4

Jika

$f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1 } \,$ dengan

$f(0) = f^\prime (0) \,$ dan

$f^\prime (-1) = 1, \,$ maka

$a + b = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep turunan pecahan :

$y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U .V^\prime }{V^2}$

$\spadesuit \,$ Menentukan turunan fungsinya dan

$f(0) = f^\prime (0)$

$\begin{align} f(x) & = \frac{ax+b}{x^2 + 1 } \\ U & = ax + b \rightarrow U^\prime = a \\ V & = x^2 + 1 \rightarrow V^\prime = 2x \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime .V - U .V^\prime }{V^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{a(x^2+1) - (ax+b).2x }{(x^2+1)^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{-ax^2 - 2bx + a}{(x^2+1)^2} \\ f(0) & = f^\prime (0) \\ \frac{a.0+b}{0^2 + 1 } & = \frac{-a.0^2 - 2b.0 + a }{(0^2+1)^2} \\ \frac{b}{ 1 } & = \frac{a }{1} \\ b & = a \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$b$

$\begin{align} f^\prime (-1) & = 1 \\ \frac{-a(-1)^2 - 2b.(-1) + a}{((-1)^2+1)^2} & = 1 \\ \frac{-a + 2b +a }{(2)^2} & = 1 \\ \frac{2b }{4} & = 1 \\ 2b & = 4 \\ b & = 2 \end{align}$
Nilai

$b = 2 \,$ , nilai

$a = b = 2$
Sehingga :

$a + b = 2 + 2 = 4$
Jadi, nilai

$a + b = 4. \heartsuit$

Nomor 5

Diketahui

$f(n) = {}^3 \log 4 . {}^4 \log 5... {}^{n-1} \log n . \,$ Jika

$a_1 \,$ dan

$a_2 \,$ penyelesaian persamaan

$f(a) + f(a^2) + ... + f(a^9) = f(a) .f(a^5) , \,$ maka

$a_1.a_2 = .....$

$\clubsuit \,$ Konsep Logaritma

${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c$

${}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c$

${}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc)$

$n . {}^a \log b = {}^a \log b^n$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan fungsinya

$\begin{align} f(n) & = {}^3 \log 4 . {}^4 \log 5... {}^{n-1} \log n \\ f(n) & = {}^3 \log n \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a_1 \,$ dan

$a_2$

$\begin{align} f(a) + f(a^2) + ... + f(a^9) & = f(a) .f(a^5) \\ {}^3 \log a + {}^3 \log a^2 + ... + {}^3 \log a^9 & = {}^3 \log a. {}^3 \log a^5 \\ {}^3 \log a.a^2...a^9 & = {}^3 \log a. 5.{}^3 \log a \\ {}^3 \log a^{(1+2+3+...+9)} & = 5.({}^3 \log a )^2 \\ {}^3 \log a^{45} & = 5.({}^3 \log a )^2 \\ 45.{}^3 \log a & = 5.({}^3 \log a )^2 \, \, \text{[bagi 5]} \\ 9.{}^3 \log a & = ({}^3 \log a )^2 \\ ({}^3 \log a )^2 - 9.{}^3 \log a & = 0 \\ {}^3 \log a ({}^3 \log a - 9 ) & = 0 \\ {}^3 \log a = 0 \rightarrow a_1 & = 3^0 = 1 \\ {}^3 \log a = 9 \rightarrow a_2 & = 3^9 \end{align}$
Sehingga nilai

$a_1.a_2 = 1.3^9 = 3^9$
Jadi, nilai

$a_1 . a_2 = 3^9 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15