Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 514 tahun 2014

Nomor 1

Banyaknya akar real

$f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.

$\clubsuit \,$ Bentuk pemfaktoran :

$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\,$ atau

$\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan

$n$ genap

$\clubsuit \,$ Untuk menentukan akar-akarnya, maka

$f(t)=0$

$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Sehingga akar-akarnya:

$t=0,t=1,t=-1$ dan

$t^2=-1$ (tidak real) serta

$t^4=-1$ (tidak real).

$\clubsuit \,$ Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1.

$\, \heartsuit$

Nomor 2

Bila

$sinx+cosx=a$ , maka

$sin^4x+cos^4x=...$

$\spadesuit \,$ Identitas trigonometri dan rumus dasar lainnya:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \,$ dan

$\, p^2+q^2=(p+q)^2-2pq$

$\spadesuit \,$ Kuadratkan

$sinx+cosx=a:$

$\begin{align} sinx+cosx&=a \\ (sinx+cosx)^2&=a^2 \\ sin^2x+cos^2x+2sinxcosx&=a^2 \\ 1+2sinxcosx&=a^2 \\ sinxcosx&=\frac{a^2-1}{2} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soal:

$sin^4x+cos^4x$

$\begin{align} sin^4x+cos^4x &= (sin^2)^2+(cos^2x)^2 \\ &= (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x \\ &=(1)^2-2(sinxcosx)^2 \\ &= 1-2\left( \frac{a^2-1}{2} \right)^2 \\ &= 1-\frac{(a^2-1)^2}{2} \end{align}$
Jadi,

$sin^4x+cos^4x=1-\frac{(a^2-1)^2}{2}. \heartsuit$

Nomor 3

Nilai

$a$ yang menyebabkan persamaan

$9^x-a.3^x+a=0$ mempunyai tepat satu akar nyata adalah ...

$\clubsuit \,$ Misalkan

$p=3^x$ :

$9^x-a.3^x+a=0 \Leftrightarrow (3^x)^2-a.(3^x)+a=0 \Leftrightarrow p^2-ap+a=0\,$ ...pers(i)

$\clubsuit \,$ Pers (i) berbentuk persamaan kuadrat, sehingga agar diperoleh akar kembar, harus memenuhi syarat :

$D=0$

$\begin{align*} D&=0 \\ b^2-4ac&=0 \\ (-a)^2-4.1.a&=0 \\ a^2-4a&=0 \\ a(a-4)&=0 \\ a=0 \, &\text{atau} \, x=4 \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Cek nilai

$a \,$ ke persmaan

$9^x-a.3^x+a=0\,$ :

$a=0 \Rightarrow 9^x-0.3^x+0=0 \Rightarrow 9^x=0 \,$ (tidak memenuhi karena

$9^x>0$ )

$a=4 \Rightarrow 9^x-4.3^x+4=0 \Rightarrow (3^x-2)^2=0 \Rightarrow 3^x=2 \Rightarrow x={}^{3}log2 \,$ (memenuhi)
Jadi, nilai

$a$ yang memenuhi adalah

$a=4 \, \heartsuit$

Nomor 4

Jika

$A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan

$\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = x^2-5x+8$ , maka matriks

$A$ yang mungkin adalah ...

$\clubsuit \,$ Misalkan matriks

$A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \,$ :

$\begin{align*} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ ax^2+(b+c)x+d&= x^2-5x+8 \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Diperoleh

$a=1,d=8, \,$ dan

$b+c=-5$
Jadi, kemungkinan matriks

$A$ :

$\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit$

Nomor 5

Jika

$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)+\frac{1}{g(x)} \right)=4$ dan

$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)- \frac{1}{g(x)} \right)=-3$ , maka

$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)=...$

$\clubsuit \,$ Substitusi semua

$x$ dengan

$a$ pada masing-masing limit:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)+\frac{1}{g(x)} \right)=4 \Rightarrow \left( f(a)+\frac{1}{g(a)} \right)=4$ ...pers(i)

$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)- \frac{1}{g(x)} \right)=-3 \Rightarrow \left( f(a)- \frac{1}{g(a)} \right)=-3$ ...pers(ii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii), diperoleh :

$f(a)=\frac{1}{2}, \frac{1}{g(a)}=\frac{7}{2}.$

$\clubsuit \,$ Substitusi nilai

$f(a)$ dan

$g(a)$

$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)&= \left( \left(f(a)\right)^2+\frac{1}{\left(g(a)\right)^2} \right) \\ &=\left( \left(f(a)\right)^2+\left(\frac{1}{g(a)}\right)^2 \right) \\ &=\left( \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left( \frac{7}{2}\right)^2 \right) \\ &=\frac{50}{4}=\frac{25}{2} \end{align*}$
Jadi, nilai