Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 617 tahun 2015

Nomor 1

Jika

$a, \, b , \,$ dan

$x \,$ adalah bilangan real positif dan

$\frac{\sqrt[3]{x}\sqrt{ab}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}, \,$ maka nilai

$x \,$ adalah .....

$\clubsuit \,$ Sifat-sifat eksponen

$\sqrt[n]{a} = (a)^\frac{1}{n}, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} \,$ dan

$(ab)^m = a^m .b^m$

$\clubsuit \,$ Pangkatkan 6 kedua ruas

$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{x}\sqrt{ab}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} & = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}} \\ \sqrt[3]{x}\sqrt{ab} & = \sqrt{a\sqrt[3]{ab}} . \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}} \\ x^\frac{1}{3} . (ab)^\frac{1}{2} & = (a.(ab)^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} . (a.(b)^\frac{2}{3})^\frac{1}{2} \\ \left[ x^\frac{1}{3} . (ab)^\frac{1}{2} \right]^6 & = \left[ (a.(ab)^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} . (a.(b)^\frac{2}{3})^\frac{1}{2} \right]^6 \\ x^\frac{6}{3} . (ab)^\frac{6}{2} & = (a.(ab)^\frac{1}{3})^\frac{6}{2} . (a.(b)^\frac{2}{3})^\frac{6}{2} \\ x^2 . (ab)^3 & = (a.(ab)^\frac{1}{3})^3 . (a.(b)^\frac{2}{3})^3 \\ x^2 . a^3.b^3 & = a^3.(ab)^\frac{3}{3} . a^3.(b)^\frac{2.3}{3} \\ x^2 . a^3.b^3 & = a^3.(ab) . a^3.(b)^2 \\ x^2 . a^3.b^3 & = a^7.b^3 \\ x^2 & = \frac{a^7.b^3}{a^3.b^3} \\ x^2 & = a^4 \\ x & = a^\frac{4}{2} = a^2 \end{align}$
Jadi, diperoleh

$x = a^2. \heartsuit$

Nomor 2

Diketahui perbandingan suku pertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmetika adalah 2 : 3. Perbandingan suku pertama dan suku kedua dari barisan tersebut adalah .....

$\spadesuit \,$ Barisan aritmetika :

$u_n = a + (n-1)b$
sehingga :

$u_1 = a + (1-1)b = a$

$u_2 = a + (2-1)b = a + b$

$u_3 = a + (3-1)b = a + 2b$

$\spadesuit \,$ Menentukan hubungan

$a \,$ dan

$b$

$\begin{align} \frac{\text{suku pertama}}{\text{suku ketiga}} & = \frac{2}{3} \\ \frac{u_1}{u_3} & = \frac{2}{3} \\ \frac{a}{a+2b} & = \frac{2}{3} \\ 3a & = 2 (a+2b) \\ 3a & = 2a + 4b \\ a & = 4b \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasilnya dengan substitusi

$a = 4b$

$\begin{align} \frac{u_1}{u_2} = \frac{a}{a+b } = \frac{4b}{4b+b} = \frac{4b}{5b} = \frac{4}{5} \end{align}$
Artinya perbandingan suku pertama dan kedua adalah 4 : 5.
Jadi, perbandingannya adalah

$u_1 : u_2 = 4 : 5. \heartsuit$

Nomor 3

Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm

$^2$

$\clubsuit \,$ gambarnya

$\clubsuit \,$ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.

$\clubsuit \,$ Menentukan luas arsiran

$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45.

$\heartsuit$

Nomor 4

Diketahui

${}^2 \log p = \frac{1}{3} \,$ dan

${}^3 \log q = \frac{1}{2}. \,$ Jika

$x = p^3 \,$ dan

$y = q^2, \,$ maka

${}^x \log y = .....$

$\spadesuit \,$ Definisi logaritma :

${}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c$

$\spadesuit \,$ Sifat Eksponen :

$(a^m)^n = a^{m.n}$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soalnya

$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^3 = (2^\frac{1}{3})^3 =2^\frac{3}{3} = 2 \\ y & = q^2 = (3^\frac{1}{2})^2 = 3^\frac{2}{2} = 3 \end{align}$
Sehingga :

${}^x \log y = {}^2 \log 3$
Jadi, nilai

${}^x \log y = {}^2 \log 3 . \heartsuit$

Nomor 5

Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....

$\clubsuit \,$ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.

$\clubsuit \,$ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang

$\clubsuit \,$ Menentukan rata-ratanya

$(\overline{x})$