Pembahasan Soal UMPTN Matematika IPA tahun 2001

Nomor 1

Daerah D dibatasi oleh urva

$y = \sin x , \, 0 \leq x \leq \pi \,$ dan sumbu X. Jika daerah D diputar terhadap sumbu X, maka volume benda putar yang terjadi adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep trigonometri

$\sin ^2 px = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2px$
sehingga

$\sin ^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x$

$\clubsuit \,$ Gambar

$\clubsuit \,$ Menentukan volumenya

$\begin{align} V & = \pi \int \limits_0^\pi \, y^2 \, dx \\ & = \pi \int \limits_0^\pi \, \sin ^2 x \, dx \\ & = \pi \int \limits_0^\pi \,\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x \, dx \\ & = \frac{1}{2} \pi \int \limits_0^\pi \, ( 1 - \cos 2x) \, dx \\ & = \frac{1}{2} \pi \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^\pi \\ & = \frac{1}{2} \pi \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi ) - (0 - \frac{1}{2} \sin 2.0) \right] \\ & = \frac{1}{2} \pi \left[ (\pi - 0 ) - (0 - 0 \right] \\ & = \frac{1}{2} \pi ^2 \end{align}$
Jadi, volumenya adalah

$\frac{1}{2} \pi ^2 . \heartsuit$

Nomor 2

Jika sudut antara vektor

$\vec{a} = \vec{i}+\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k} \,$ dan

$\vec{b} = \vec{i}-\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k} \,$ adalah

$60^\circ ,$ maka

$p = ....$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$\vec{a} . \vec{b} \,$ dan panjangnya

$\vec{a} = \vec{i}+\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k} \,$ dan

$\vec{b} = \vec{i}-\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k} \,$

$\vec{a} . \vec{b} = 1.1 +\sqrt{2}.(-\sqrt{2}) + p.p = -1 + p^2$

$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2+p^2} = \sqrt{3+p^2}$

$|\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{2})^2+p^2} = \sqrt{3+p^2}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$p \,$ dengan

$\theta = 60^\circ$

$\begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \\ -1 + p^2 & = \sqrt{3+p^2} . \sqrt{3+p^2} \cos 60^\circ \\ -1 + p^2 & = (3+p^2) . \frac{1}{2} \, \, \text{(kali 2)} \\ -2+2p^2 & = 3 + p^2 \\ p^2 & = 5 \\ p & = \pm \sqrt{5} \end{align}$
Jadi, nilai

$p = \sqrt{5} \, \, \vee \, \, p = -\sqrt{5} . \heartsuit$

Nomor 3

Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan

$x^2 + 2x - a = 0 \,$ sama dengan jumlah kebalikan akar-akar persamaan

$x^2 -8x+(a-1)=0, \,$ maka nilai

$a$ sama dengan ....

$\clubsuit \,$ PKI :

$x^2 + 2x - a = 0 \,$ akar-akarnya

$x_1$ dan

$x_2$

$x_1+x_2=\frac{-b}{a} = \frac{-2}{1} = -2$

$x_1.x_2=\frac{c}{a} = \frac{-a}{1} = -a$

$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 \\ x_1^2 + x_2^2 & = (-2)^2 - 2-a) = 4 + 2a \end{align}$

$\clubsuit \,$ PKII :

$x^2 -8x+(a-1)=0 \,$ akar-akarnya

$y_1$ dan

$y_2$

$y_1+y_2=\frac{-b}{a} = \frac{-(-8)}{1} = 8$

$y_1.y_2=\frac{c}{a} = \frac{a-1}{1} = a-1$

$\begin{align} \frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2} & = \frac{y_1+y_2}{y_1.y_2} = \frac{8}{a-1} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Jumlah kuadrat PKI sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PKII

$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = \frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2} \\ 4 + 2a & = \frac{8}{a-1} \\ (4 + 2a)(a-1) & = 8 \\ 2a^2 + 2a - 4 & = 8 \\ 2a^2 + 2a - 12 & = 0 \, \, \text{(bagi 2 )} \\ a^2 + a - 6 & = 0 \\ (a-2)(a+3) & = 0 \\ a=2 \vee a & = - 3 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Cek nilai

$a$ ke PKI :

$x^2 + 2x - a = 0$

$\begin{align} a=2 \rightarrow x^2 + 2x - a & = 0 \\ x^2 + 2x - 2 & = 0 \\ D = b^2 - 4ac & = 2^2 - 4.1.(-2) = 12 \end{align}$
Karena nilai

$D = 12 > 0 \,$ , maka PKI memiliki akar-akar real. artinya

$a = 2 \,$ memenuhi.

$\begin{align} a=-3 \rightarrow x^2 + 2x - a & = 0 \\ x^2 + 2x +3 & = 0 \\ D = b^2 - 4ac & = 2^2 - 4.1.3 = -8 \end{align}$
Karena nilai

$D = -8 < \,$ , maka PKI tidak memiliki akar-akar real. artinya

$a = -3 \,$ tidak memenuhi.
Jadi, nilai

$a = 2 . \heartsuit$

Nomor 4

Jika

$3 \cos ^2 2x \, + 4\sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) \, - 4 =0, \,$ maka

$\cos x = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar

$\sin \left( \frac{\pi}{2} - f(x) \right) = \cos f(x) \,$ dan

$\cos 2x = 2\cos ^2 x - 1$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soal, misal

$p =\cos 2x$

$\begin{align} 3 \cos ^2 2x \, + 4\sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) \, - 4 & =0 \\ 3 (\cos 2x)^2 \, + 4\cos 2x \, - 4 & =0 \\ 3 p^2 \, + 4p \, - 4 & =0 \\ (3p-2)(p+2) & = 0 \\ p = \frac{2}{3} \vee p & = -2 \end{align}$
Karena nilai

$p = \cos 2x \,$ terkecilnya -1 dan terbesar 1, sehingga yang memenuhi adalah

$p = \frac{2}{3} \,$ atau

$\cos 2x = \frac{2}{3}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\cos x$

$\begin{align} \cos 2x & = \frac{2}{3} \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{2}{3} \\ 2\cos ^2 x & = \frac{2}{3} + 1 \\ 2\cos ^2 x & = \frac{5}{3} \\ \cos ^2 x & = \frac{5}{6} \\ \cos x & = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} = \pm \frac{1}{6}\sqrt{30} \end{align}$
Jadi, nilai

$\cos x = \frac{1}{6}\sqrt{30} , \vee \, \cos x = - \frac{1}{6}\sqrt{30} . \heartsuit$

Nomor 5

Jika

$\frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} = m \,$ dan

$\frac{{}^3 \log a }{{}^2 \log b} = n, \, a > 1 \,$ dan

$b > 1, \,$ maka

$\frac{m}{n} = .....$

$\clubsuit \,$ Sifat logaritma
(i)

${}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c$
(ii)

${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a }$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} m & = \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} \\ n & = \frac{{}^3 \log a }{{}^2 \log b} \rightarrow \frac{1}{n} = \frac{{}^2 \log b }{{}^3 \log a} \, \, \text{(dibalik)} \\ \frac{m}{n} & = m . \frac{1}{n} = \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} . \frac{{}^2 \log b }{{}^3 \log a} \, \, \text{(gunakan sifat (ii))} \\ & = {}^2 \log a . {}^b \log 3 . {}^2 \log b. {}^a \log 3 \, \, \text{(dikelompokkan)}\\ & = {}^2 \log a . {}^a \log 3 . {}^2 \log b . {}^b \log 3 \, \, \text{(gunakan sifat (i))} \\ & = {}^2 \log 3. {}^2 \log 3 \\ & = \left( {}^2 \log 3 \right)^2 \end{align}$
Jadi, nilai