Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008

Nomor 1

Dalam bentuk pangkat positif,

$\frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}} = ...$

$\clubsuit \,$ Rumus dasar ;

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ dan

$(ab)^n=a^n.b^n$

$\begin{align} \frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}} & = \frac{\left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) }{\frac{1}{(xy)^2}} \\ & = \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) . (xy)^2 \\ & = \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) . (x^2y^2) \\ & = \frac{x^2.y^2}{x^2}- \frac{x^2.y^2}{y^2} \\ & = y^2 - x^2 \\ & = -(x^2-y^2) \\ & = -(x-y)(x+y) \end{align}$
Jadi, bentuk pangkat positifnya adalah

$-(x-y)(x+y). \heartsuit$

Nomor 2

Jika

$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} = a + b\sqrt{5}$ , maka

$a+b = ...$

$\spadesuit \,$ Merasionalkan penyebutnya :

$\begin{align} a + b\sqrt{5} & = \frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} \\ & = \frac{\frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \\ & = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} \\ & = \frac{5-4\sqrt{5}+4}{5-4} = \frac{9 - 4\sqrt{5}}{1} \\ a + b\sqrt{5} & = 9 - 4\sqrt{5} \end{align}$
Sehingga :

$a = 9$ dan

$b = -4$
Jadi, nilai

$a+b=9+(-4)=5 . \heartsuit$

Nomor 3

Garis

$ax+by+c=0$ melalui titik A(1,-2), B(-5,2), dan C(10,-8). Jika

$a$ ,

$b$ , dan

$c$ tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1, maka

$a+b+c = ...$

$\clubsuit \,$ Persamaan garis melalui dua titik :
A(1,-2) sebagai (

$x_1,y_1$ ) dan B(-5,2) sebagai (

$x_2,y_2$ )

$\begin{align*} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{2-(-2)} & = \frac{x-1}{-5-1} \\ \frac{y+2}{4} & = \frac{x-1}{-6} \\ -6y-12 & = 4x - 4 \\ 4x + 6y + 8 & = 0 \\ 2x + 3y + 4 & = 0 \, \, \text{(sama dengan)} \\ ax + by + c & = 0 \end{align*}$
Sehingga,

$a=2, \, b=3 , \, c= 4$

$a+b+c = 2+3+4 = 9$
Jadi, nilai

$a+b+c = 9. \heartsuit$

Nomor 4

Persamaan garis singgung pada parabola:

$y=2x^2-16x+24$ di titik potongnya dengan sumbu Y adalah ...

$\spadesuit \,$ Titik potong sumbu Y, substitusi

$x=0$

$y=2x^2-16x+24=2.0^2-16.0+24=24$
titik singgungnya : (0, 24) sebagai (

$x_1,y_1$ )

$\spadesuit \,$ Gradien garis singgung :

$m = f^\prime (x_1)$

$y=2x^2-16x+24 \rightarrow f^\prime (x) = 4x - 16$

$m = f^\prime (x_1) \rightarrow m = f^\prime (0) \rightarrow m = 4.0 - 16 = -16$

$\spadesuit \,$ Persamaan garis singgung :

$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-24 & = -16(x-0) \\ y & = -16x + 24 \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah

$y = -16x + 24. \heartsuit$

Nomor 5

Persamaan kuadrat

$x^2-ax+1=0$ mempunyai akar

$x_1$ dan

$x_2$ . Jika persamaan kuadrat

$x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar

$\frac{x_1^3}{x_2}$ dan

$\frac{x_2^3}{x_1}$ , maka

$p = ...$

$\clubsuit \, x^2-ax+1=0 \, \, \,$ mempunyai akar

$x_1$ dan

$x_2$

$x_1+x_2=\frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a$

$x_1.x_2=\frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$

$\begin{align*} x_1^4+x_2^4 & = \left( x_1^2 + x_2^2 \right)^2 - 2 (x_1.x_2)^2 \\ & = \left[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \right]^2 - 2 (x_1.x_2)^2 \\ & = \left[ (a)^2-2\times 1 \right]^2 - 2 (1)^2 \\ & = \left( a^2-2 \right)^2 - 2 \\ x_1^4+x_2^4 & = a^4-4a^2+2 \end{align*}$

$\clubsuit \, x^2+px+q=0\, \,$ mempunyai akar-akar

$\frac{x_1^3}{x_2}$ dan

$\frac{x_2^3}{x_1}$

$\begin{align*} \frac{x_1^3}{x_2} + \frac{x_2^3}{x_1} & = \frac{-b}{a} \\ \frac{x_1^4+x_2^4}{x_1x_2} & = \frac{-p}{1} \\ \frac{a^4-4a^2+2}{1} & = -p \\ p & = -a^4+4a^2-2 \end{align*}$
Jadi, nilai

$p = -a^4+4a^2-2. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25