Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 276 tahun 2009

Nomor 1

Diketahui bilangan

$a$ dan

$b$ dengan

$a \geq b$ . Kedua bilangan memenuhi

$a^2 + b^2 = 40$ dan

$a + b = 6$ . Nilai

$ab$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar :

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

$\clubsuit \,$ menentukan nilai

$ab$

$\begin{align*} (a+b)^2 & = (a^2+b^2) +2ab \\ (6)^2 & =(40)+2ab \\ 36 & = 40 + 2ab \\ 2ab & = 36 - 40 \\ 2ab & = - 4 \\ ab & = -2 \end{align*}$
Jadi, nilai

$ab = -2 .\heartsuit$

Nomor 2

Jika fungsi

$f$ memenuhi persamaan

$2f(x)+f(9-x)=3x$ untuk setiap

$x$ bilangan real, maka nilai

$f(2)$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menentukan fungsi

$f(x)$ dengan cara substitusi

$x=a$ dan

$x=9-a$ ke

$2f(x)+f(9-x)=3x$ .
*

$x=a \rightarrow 2f(a)+f(9-a)=3a$ ...pers(i)
*

$x=9-a \rightarrow 2f(9-a)+f(9-(9-a))=3(9-a)$

$\rightarrow 2f(9-a)+f(a)=3(9-a)$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) dengan pers(i) kali 2 dan pers(ii) kali 1

$\begin{array}{cc} 4f(a)+2f(9-a)=6a & \\ 2f(9-a)+f(a)=3(9-a) & - \\ \hline 3f(a) = 9a-27 \rightarrow f(a) = 3a-9 & \end{array}$
sehingga,

$f(a) = 3a-9 \rightarrow f(2) = 3\times 2 - 9 = -3$
Jadi, nilai

$f(2) = -3. \heartsuit$

Cara II

$\spadesuit \,$ Tidak perlu menentukan

$f(x)$ . Substitusi

$x=2$ dan

$x=7$ ke

$2f(x)+f(9-x)=3x$ , lalu eliminasi
*

$x=2 \rightarrow 2f(2)+f(7)=6$ ...pers(i)
*

$x=7 \rightarrow 2f(7)+f(2)=21$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{c|c|cc} 2f(2)+f(7)=6 & \text{kali 2} & 4f(2)+2f(7)=12 & \\ 2f(7)+f(2)=21 & \text{kali 1} & 2f(7)+f(2)=21 & - \\ \hline & & 3f(2) = -9 \rightarrow f(2) = -3 & \end{array}$
Jadi, nilai

$f(2) = -3. \heartsuit$

Nomor 3

Suatu segitiga panjang sisinya adalah 12 cm dan 8 cm. Semua besaran berikut dapat menjadi keliling segitiga tersebut, KECUALI ....

$\clubsuit \,$ Pertidaksamaan pada sisi segitiga

$\clubsuit \,$ Rentang nilai

$x$

$\clubsuit \,$ Keliling segitiga

$\begin{align} 4 < & x < 20 \\ 8+12+4 < 8+ & 12+ x < 8 + 12+20 \\ 24 < \text{K} & \, \Delta < 40 \end{align}$
sehingga rentang kelilingnya adalah

$24 < \text{Keliling} \, \Delta < 40$
Jadi, keliling yang tidak mungkin adalah 24.

$\heartsuit$

Cara II

$\clubsuit \,$ Jika diketahui dua sisi pada segitiga , misalkan

$a$ dan

$b$ dengan

$a \geq b$ , maka rentang keliling segitiga yang mungkin adalah

$2a < K \Delta < 2(a+b)$

$\clubsuit \,$ diketahui panjang sisi segitiga,

$a=12$ , dan

$b=8$ , Rentang kelilingnya :

$\begin{align} 2a < & \text{Keliling} \, \Delta < 2 (a+b) \\ 2.12 < & \text{Keliling} \, \Delta < 2 (12+8) \\ 24 < & \text{Keliling} \, \Delta < 40 \end{align}$
Jadi, keliling yang tidak mungkin diluar interval di atas, yaitu 24.

$\heartsuit$

Nomor 4

Agar vektor

$\vec{a} = 2\vec{i} + p \vec{j} + \vec{k}$ dan

$\vec{b} = 3\vec{i} + 2 \vec{j} + 4\vec{k}$ saling tegak lurus, maka nilai

$p$ adalah ....

$\vec{a} = (2 \, \, \, p \, \, \, 1)$ dan

$\vec{b} = (3 \, \, \, 2 \, \, \, 4)$

$\spadesuit \,$ Vektor

$\vec{a}$ tegak lurus vekor

$\vec{b}$ , syarat :

$\vec{a}.\vec{b} = 0$

$\begin{align*} \vec{a}.\vec{b} & = 0 \\ \, \, \, 2.3 + p.2 + 1.4 & = 0 \\ 6+2p+4 & = 0 \\ 2p & = -10 \\ p & = -5 \end{align*}$
Jadi, nilai

$p=-5 .\heartsuit$

Nomor 5

Segiempat berikut berupa persegipanjang dengan panjang sisi 5 dan 9 satuan. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut 4 kali luas daerah lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah ....

$\clubsuit \,$ Menentukan luas arsiran

$\begin{align} \text{Luas Arsir} \, & = \, \text{Luas persegipanjang} \, - \, \text{Luas lingkaran} \\ & = 5.9 - \pi r^2 \\ & = 45-\pi r^2 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan jari-jari (

$r$ )

$\begin{align} \text{Luas Arsir} \, & = 4 \times \text{Luas lingkaran} \\ 45-\pi r^2 & = 4\pi r^2 \\ 5\pi r^2 & = 45 \\ r^2 & = \frac{45}{5\pi} \\ r^2 & = \frac{9}{\pi} \\ r & = \sqrt{\frac{9}{\pi} } \\ r & = \frac{3}{\sqrt{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} . \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} \\ r & = \frac{3}{\pi} \sqrt{\pi} \end{align}$
Jadi, jari-jarinya adalah

$r = \frac{3}{\pi} \sqrt{\pi} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15