Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002

Nomor 1

Parabola

$y=x^2+ax+6 \, \,$ dan garis

$\, y=2mx+c \,$ berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis

$\, \overline{AB} \,$ menjadi dua sama panjang. Maka ordinat titik C adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar : Misal titik A(

$x_1, \, y_1$ ) dan B(

$x_2,\,y_2$ ) . Jika titik C ada ditengah AB, maka koordinat titik C adalah C

$\left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$ . Sehingga ordinatnya adalah

$\frac{y_1+y_2}{2}$

$\clubsuit \,$ Titik potong kedua kurva

$\begin{align} \text{persamaan parabola} \, & = \, \text{persamaan garis} \\ x^2+ax+6 & = 2mx+c \\ x^2 + (a-2m)x + (6-c) & = 0 \\ x_1+x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(a-2m)}{1} \\ x_1+x_2 & = 2m - a \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan

$y_1 \,$ dan

$y_2 \,$ dari persamaan garis

$y=2mx+c \rightarrow y_1=2mx_1+c \, \,$ dan

$\, y_2=2mx_2+c$
Jumlahkan kedua persamaan :

$\begin{align} y_1+y_2 & = (2mx_1+c) + (2mx_2+c) \\ & = 2m(x_1+x_2) + 2c \\ & = 2m(2m - a) + 2c \\ y_1+y_2 & = 4m^2-2am+2c \end{align}$
Sehingga ordinat titik C :

$\, \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{4m^2-2am+2c}{2} = 2m^2-am+c$
Jadi, ordinat titik C adalah

$2m^2-am+c. \heartsuit$

Cara II

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar : Misal titik A(

$x_1, \, y_1$ ) dan B(

$x_2,\,y_2$ ) . Jika titik C ada ditengah AB, maka koordinat titik C adalah C

$\left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$ . Sehingga ordinatnya adalah

$\frac{y_1+y_2}{2}$

$\clubsuit \,$ Substitusi garis ke parabola

$y=2mx+c \rightarrow x = \frac{y-c}{2m}$

$\begin{align} y & = \left( \frac{y-c}{2m} \right)^2+a.\left( \frac{y-c}{2m} \right)+6 \\ y & = \frac{y^2-2cy+c^2}{4m^2} + \frac{ay-ac}{2m} + 6 \\ 4m^2y & = y^2-2cy+c^2 + 2amy - 2amc + 64m^2 \\ y^2 & + (2am-2c-4m^2)y - 2amc + 24m^2 = 0 \\ y_1+y_2 & = \frac{-b}{a} \\ y_1+y_2 & = \frac{-(2am-2c-4m^2)}{1} \\ y_1+y_2 & = 4m^2-2am+2c \end{align}$
Sehingga ordinat titik C :

$\, \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{4m^2-2am+2c}{2} = 2m^2-am+c$
Jadi, ordinat titik C adalah

$2m^2-am+c. \heartsuit$

Nomor 2

Nilai maksimum dari

$\, x+y-6 \,$ yang memenuhi syarat :

$\, x \geq 0, \, y\geq 0, \, 3x+8y \leq 340 \,$ dan

$\, 7x+4y \leq 280 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Gambar

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong kedua garis

$\begin{array}{c|c|cc} 7x+4y = 280 & \times 2 & 14x+8y = 560 & \\ 3x+8y = 340 & \times 1 & 3x+8y = 340 & - \\ \hline & & 11x = 220 \rightarrow x = 20 & \end{array}$

$7x+4y = 280 \rightarrow 7.20+4y = 280 \rightarrow y = 35$
sehingga titik B(20,35)

$\spadesuit \,$ Substitusi semua titik pojok ke fungsi

$z = x+y-6$
A(40,0)

$\rightarrow z = 40+0-6 = 34$
B(20,35)

$\rightarrow z = 20+35-6 = 49$
C(0,

$42\frac{1}{2}$ )

$\rightarrow z = 0+42\frac{1}{2}-6 = 36\frac{1}{2}$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 49.

$\heartsuit$

Nomor 3

Jika

$a = 2 + \sqrt{7} \, \,$ dan

$\, b= 2 - \sqrt{7} \, \,$ , maka

$a^2 + b^2 - 4ab = ....$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasil jumlah dan kali

$a+b = (2 + \sqrt{7}) + (2 - \sqrt{7}) = 4$

$a.b = (2 + \sqrt{7}) . (2 - \sqrt{7}) = 4 - 7 = -3$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align*} a^2 + b^2 - 4ab & = (a+b)^2 - 2ab - 4ab \\ & = (a+b)^2 - 6ab \\ & = (4)^2 - 6.(-3) \\ a^2 + b^2 - 4ab & = 16 + 18 = 34 \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah 34.

$\heartsuit$

Nomor 4

Apabila

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \,$ dirasionalkan penyebutnya, maka bentuk tersebut menjadi ....

$\spadesuit \,$ Merasionalkan penyebut

$\begin{align} \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \\ & = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} \\ & = \frac{2(\sqrt{10}+\sqrt{6})}{2} \\ & = \sqrt{10}+\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, bentuknya adalah

$\sqrt{10}+\sqrt{6} . \heartsuit$

Nomor 5

Nilai

$x+y \,$ yang memenuhi persamaan :

$\frac{2x+3y+4}{3x-y-10} = 3 \, \,$ dan

$\, \frac{x-y+7}{-2x+y+5} = -3 \, \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal

$\begin{align} \frac{2x+3y+4}{3x-y-10} = 3 & \leftrightarrow 2x+3y+4=9x-3y-30 \\ & \leftrightarrow 7x-6y-34 = 0 \, \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{x-y+7}{-2x+y+5} = -3 & \leftrightarrow x-y+7 = 6x-3y-15 \\ & \leftrightarrow 5x-2y-22 = 0 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{c|c|cc} 7x-6y = 34 & \times 1 & 7x-6y = 34 & \\ 5x-2y = 22 & \times 3 & 15x-6y= 66 & - \\ \hline & & 8x=32 \rightarrow x = 4 & \end{array}$
pers(ii) :