Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 1 sampai 5

Nomor 1

Nilai semua

$x$ sehingga matriks

$\left[ \begin{matrix} \sqrt{x^2 - 1} & 1 \\ x & 2 \end{matrix} \right]$ mempunyai invers adalah ...

$A$ mempunyai invers jika dan hanya jika

$|A|\neq 0$

$A = \left[ \begin{matrix} \sqrt{x^2 - 1} & 1 \\ x & 2 \end{matrix} \right] \Rightarrow |A|=2\sqrt{x^2 - 1}-x$

$\clubsuit \,$ Syarat invers:

$\begin{align} |A| &\neq 0 \\ 2\sqrt{x^2 - 1}-x &\neq 0 \\ 2\sqrt{x^2 - 1} &\neq x \, \text{(dikuadratkan)}\\ 4(x^2 - 1) &\neq x^2 \\ 3x^2 &\neq 4 \\ x &\neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \end{align}$

$\text{HP}_1=\{ x \neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \}$

$\clubsuit \,$ Syarat akar:

$\begin{align} \sqrt{x^2 - 1}\geq 0 \\ x^2 - 1 \geq 0\\ (x-1)(x+1)= 0 \\ x=1 \, \text{atau} \, x=-1 \end{align}$

$\text{HP}_2=\{ x\leq -1 \, \text{atau} \, x\geq 1 \}$

$\clubsuit \,$ Jadi, solusinya :

$\text{HP}=\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2$

$\text{HP}=\{ x< - \sqrt{\frac{4}{3}} \, \text{atau} \, -\sqrt{\frac{4}{3}} < x \leq -1 \, \text{atau} \, 1\leq x < \sqrt{\frac{4}{3}} \, \text{atau} \, x > \sqrt{\frac{4}{3}} \} \, \heartsuit$

Nomor 2

Jika sudut

$\alpha$ memenuhi

$cos^2\alpha + 2sin(\pi - \alpha ) = sin^2 (\pi + \alpha ) + 1\frac{1}{2}$ maka

$sin\alpha = ...$

$\spadesuit \,$ Identitas trigonometri dan hubungan kuadran:

$\begin{align} sin^2\alpha + cos^2\alpha &= 1\\ sin(180^o-\alpha) & = sin\alpha \\ sin(180^o+\alpha) &=-sin\alpha \end{align}$

$\spadesuit \,$ Mederhanakan soal:

$\begin{align} cos^2\alpha + 2sin(\pi - \alpha ) &= sin^2 (\pi + \alpha ) + 1\frac{1}{2} \\ (1-sin^2\alpha) + 2sin\alpha &= \left[ sin(\pi + \alpha) \right]^2 + \frac{3}{2} \\ 1-sin^2\alpha + 2sin\alpha &= \left[ -sin\alpha \right]^2 + \frac{3}{2} \\ 1-sin^2\alpha + 2sin\alpha &= sin^2\alpha + \frac{3}{2} \\ 2sin^2\alpha -2sin\alpha + \frac{1}{2} &=0 \, \text{(kali 2)} \\ 4sin^2\alpha -4sin\alpha + 1 &=0 \\ \left( 2sin\alpha - 1 \right)^2 &=0 \\ sin\alpha & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi,

$sin\alpha = \frac{1}{2} \heartsuit$

Nomor 3

Peluang Ali, Budi dan Dian lulus "UAN" masing-masing adalah

$0,7$ ;

$0,8$ dan

$0,9$ . Peluang lulus hanya satu orang di antara tiga orang tersebut adalah ...

$\clubsuit \,$ Peluang komplemen :

$P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :

$P(A)$ : Peluang Ali lulus ,

$P(A^c)$ : Peluang Ali tidak lulus,

$P(B)$ : Peluang Budi lulus ,

$P(B^c)$ : Peluang Budi tidak lulus ,

$P(D)$ : Peluang Dian lulus , dan

$P(D^c)$ : Peluang Dian tidak lulus.

$\clubsuit \,$ Peluang masing-masing:

$P(A)=0,7 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,7=0,3 \\ P(B)=0,8 \Rightarrow P(B^c)=1-P(B)=1-0,8=0,2 \\ P(D)=0,9 \Rightarrow P(D^c)=1-P(D)=1-0,9=0,1$
Agar yang lulus hanya satu orang, maka ada tiga kemungkinan:

$\spadesuit$ 1

$\spadesuit$ . Ali lulus, Budi tidak lulus, Dian tidak lulus, peluangnya adalah:

$P(A).P(B^c).P(D^c)=0,7.0,2.0,1=0,014$

$\spadesuit$ 2

$\spadesuit$ . Ali tidak lulus, Budi lulus, Dian tidak lulus, peluangnya adalah:

$P(A^c).P(B).P(D^c)=0,3.0,8.0,1=0,024$

$\spadesuit$ 3

$\spadesuit$ . Ali tidak lulus, Budi tidak lulus, Dian lulus, peluangnya adalah:

$P(A^c).P(B^c).P(D)=0,3.0,2.0,9=0,054$

$\clubsuit \,$ Jadi, peluang salah satu lulus adalah :

$0,014 + 0,024 + 0,054 = 0,092$

Nomor 4

Jika

$f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ ,

$x\geq 0$ maka

$f(5)=...$

Untuk menyelesaikan soal ini, tanpa menentukan

$f(x)$ terlebih dahulu.

$f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ ,

$x\geq 0$ ....persmaan (i)

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$x$ dari

$f(5)$ :

$f(5)=f(x^2+3x+1)$ , sehingga

$x^2+3x+1=5 \Leftrightarrow x^2+3x-4=0$

$\begin{align} x^2+3x-4&=0 \\ (x-1)(x+4)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=-4 \end{align}$
Karena

$x\geq 0$ , maka nilai

$x$ yang memenuhi adalah

$x=1$ .

$\spadesuit \,$ Substitusi

$x=1$ ke pers (i) :

$\begin{align} f(x^2+3x+1)&={}^{2}log(2x^3-x^2+7) \\ f(1^2+3.1+1)&={}^{2}log(2.1^3-1^2+7) \\ f(5) &= {}^{2}log(8) \\ f(5) &= 3. \end{align}$
Jadi,

$f(5)=3 \heartsuit$

Nomor 5

Untuk

$x\geq 1$ , nilai maksimum fungsi

$f(x)=-x^3+6x^2-9x+7$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Nilai maksimum/minimum suatu fungsi :

$f^\prime (x)=0$

$\begin{align*} f(x) &=-x^3+6x^2-9x+7 \, \, ( x \geq 1) \\ f^\prime (x)&=0 \\ -3x^2+12x-9 &=0 \, \, \text{(dibagi -3)} \\ x^2-4x+3&=0 \\ (x-1)(x-3)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=3 \end{align*}$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x=1 \, \text{atau} \, x=3$ ke fungsi:

$f(1)=-1^3+6.1^2-9.1+7=3 \, \text{atau} \, f(3)=-3^3+6.3^2-9.3+7=7$
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah 7 .

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

9 komentar:

Anonim13 Juni 2015 pukul 21.31
makasih yaaa pembahasannya :)
BalasHapus
Balasan
Unknown19 Mei 2017 pukul 08.22
Matur suksma pak RD :)
BalasHapus
Balasan
Unknown25 Oktober 2017 pukul 16.43
mohon maaf kak pembahasan no. 11 kurang jelas, tiba2 jadi (x-1)/(x-1) itu gimana ?
BalasHapus
Balasan
Unknown14 April 2018 pukul 07.38
Maaf Kak, ingin mengoreksi sedikit yang nomor 3.
Peluang Ali tidak lulus, Budi tidak lulus, dan Dian lulus adalah: P(A^c)⋅P(B^c)⋅ P(D)=(0,3)(0,2)(0,9)=0,054. ^^
BalasHapus
Balasan
Unknown8 Juli 2018 pukul 21.53
permisi kak saya mau tanya untuk yang soal no 5
Jadi kira kira syarat x lebih dari sama dengan 1 disoalnya itu berfungsi sebagai apanya ya kak ?
Terima Kasih :D
BalasHapus
Balasan

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 1 sampai 5

Artikel Terkait

9 komentar: