Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 326 tahun 2013

Nomor 1

Jika

$9^{m+1}-2.9^m = 14$ , maka

$27^m = ...$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan persamaan: Sifat

$a^{m+n}=a^m.a^n$

$\begin{align} 9^{m+1}-2.9^m &= 14 \\ 9^1.9^m-2.9^m &= 14 \\ 9.9^m-2.9^m &= 14 \\ 9^m \left(9-2\right) &= 14 \\ 9^m . 7 &= 14 \\ 9^m &= \frac{14}{7} \\ (3^2)^m & = 2 \\ (3^m)^2 & = 2 \\ 3^m & = \sqrt{2} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$27^m$

$\begin{align} 27^m & = (3^3)^m \\ &= (3^m)^3 \\ &= (\sqrt{2})^3 \\ &= \sqrt{2} .\sqrt{2} .\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi,

$27^m = 2\sqrt{2}. \, \heartsuit$

Nomor 2

Jika

${}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2$ dan

${}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1$ , maka nilai

$ab$ adalah ...

Cara I :

$\spadesuit \,$ Definisi:

${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$

$\spadesuit \,$ Misalkan :

$x={}^{2}\log a \, \,$ dan

$y={}^{2}\log b$ , persamaan pada soal menjadi

${}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 \Rightarrow x-2y=2$ ...pers(i)

${}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 \Rightarrow y-2x=-1$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan (ii) :

$\begin{array}{c|c|c} x-2y=2 & (kali \, \, 2) & 2x-4y=4\\ y-2x=-1 & (kali \, \, 1) & -2x+y=-1 \, \, + \\ \hline & & -3y=3 \Rightarrow y=-1 \end{array}$

$x-2y=2 \Rightarrow x-2(-1)=2 \Rightarrow x=0$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a$ dan

$b$

$x=0 \Rightarrow {}^{2}\log a = 0 \Rightarrow a=2^0 \Rightarrow a=1$

$y=-1 \Rightarrow {}^{2}\log b = -1 \Rightarrow b=2^{-1} \Rightarrow b=\frac{1}{2}$
Sehingga

$ab=1.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .
Jadi, nilai

$ab=\frac{1}{2} . \heartsuit$

Cara II :

$\spadesuit \,$ Definisi:

${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$

$\spadesuit \,$ Sifat logaritma:

${}^{a} \log b + {}^{a} \log c = {}^{a} \log bc$

$\spadesuit \,$ langsung jumlahkan kedua persamaan

$\begin{array}{c} {}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 \\ {}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 \, \, + \\ \hline -{}^{2}\log a - {}^{2}\log b = 1 \Rightarrow {}^{2}\log a + {}^{2}\log b = -1 \\ \Leftrightarrow {}^{2}\log ab = -1 \Rightarrow ab=2^{-1} \Rightarrow ab = \frac{1}{2} \end{array}$
Jadi, nilai

$ab=\frac{1}{2} . \heartsuit$

Nomor 3

Diketahui persamaan kuadrat

$x^2 + mx + 2 - 2m^2=0$ mempunyai akar-akar

$x_1$ dan

$x_2$ . Jika

$2x_1+x_2=2$ , maka nilai

$m$ adalah ...

$\clubsuit \,$ dari persamaan kuadrat (PK) diperoleh operasi akar-akar:

$x_1+x_2= \frac{-b}{a} \Rightarrow x_1+x_2= \frac{-m}{1} \Rightarrow x_1+x_2= -m \,$ ...pes(i)
dari soal juga diketahui :

$2x_1+x_2=2$ ...pers(ii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan (ii) :

$\begin{array}{c} 2x_1+x_2=2 \\ x_1+x_2= -m \, \, - \\ \hline x_1=2 + m \end{array}$

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x_1=2 + m \,$ ke PK (karena

$x_1$ adalah akarnya):

$\begin{align} x^2 + mx + 2 - 2m^2 & =0 \\ (2 + m)^2 + m(2 + m) + 2 - 2m^2 & =0 \\ m^2+4m+4+m^2+2m + 2-2m^2 & = 0 \\ 6m+6&=0 \\ 6m & = -6 \\ m = \frac{-6}{6} & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai

$m= -1 . \heartsuit$

Nomor 4

Jika grafik fungsi kuadrat

$f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...

$\spadesuit \,$ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.

$\spadesuit \,$ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :

$\spadesuit \,$ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai

$a < 0$ .

$\spadesuit \,$ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai

$c > 0$ .

$\spadesuit \,$ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda

$a$ dan

$b$ tidak sama (harus berbeda). Karena

$a < 0$ , maka nilai

$b$ harus

$b >0$ .
Jadi, diperoleh

$a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit$

Nomor 5

Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika

$x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...

$\clubsuit \,$ Misalkan

$x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.

$\clubsuit \,$ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%

$x$

$\clubsuit \,$ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak =

$10\% . 75\% x$

$\clubsuit \,$ Total yang harus dibayar :

$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar

$(1,1. 0,75) x. \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15