Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009

Nomor 1

Matriks

$\left[ \begin{matrix} 2x & 2x+y \\ 2x-y & 2x \end{matrix} \right] \, \,$ tidak memiliki invers jika ....
A.

$x=y$
B.

$x = -y$
C.

$x = 0 \,$ dan

$y \,$ sembarang
D.

$y = 0 \,$ dan

$x \,$ sembarang
E.

$x \,$ dan

$y \,$ sembarang

$\spadesuit \,$ Konsep matriks
*) Determinan matriks

$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$
Det(A)=

$ad-bc$
*) Matriks tidak punya invers, syaratnya Det = 0

$\spadesuit \,$ Menentukan Determinan matriks A

$\begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} 2x & 2x+y \\ 2x-y & 2x \end{matrix} \right] \\ Det(A) & = 2x.2x - (2x-y)(2x+y) \\ & = 4x^2 - (4x^2 - y^2) \\ Det(A) & = y^2 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Syarat tidak mempunyai invers

$\begin{align} Det(A) & = 0 \\ y^2 & = 0 \\ y & = 0 \end{align}$
Artinya matriks A tidak mempunyai invers jika

$y = 0 \,$ dan

$x \,$ sembarang.
Jadi, syaratnya

$y = 0 \,$ dan

$x \,$ sembarang.

$\heartsuit$

Nomor 2

Diketahui

$f(x) = x+5 \,$ dan

$g(x) = x^\frac{1}{3} \,$ , maka

$(f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar
*) inves :

$y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y)$
*) eksponen :

$b = a^\frac{1}{n} \rightarrow a = b^n$

$\clubsuit \,$ Menentukan invers kedua fungsi
*) fungsi

$f(x) = x + 5$

$y = x + 5 \rightarrow x = y-5$
artinya invernya :

$f^{-1} (x) = x-5$
*) fungsi

$g(x) = x^\frac{1}{3}$

$y = x^\frac{1}{3} \rightarrow x = y^3$
artinya inversnya :

$g^{-1} (x) = x^3$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) & = f^{-1} (g^{-1}(3)) \\ & = f^{-1} (3^3) \\ & = f^{-1} (27) \\ & = 27 - 5 \\ & = 22 \end{align}$
Jadi, nilai

$(f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) = 22. \heartsuit$

Nomor 3

Jika

$0 < x < \frac{\pi}{2} \,$ dan

$\cos x = \tan x \,$ , maka nilai dari

$\sin x \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep dasar trigonometri

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \,$ dan

$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\sin x$
Diketahui :

$\cos x = \tan x \,$ dan misalkan

$p = \sin x$

$\begin{align} \cos x & = \tan x \\ \cos x & = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \cos ^2 x & = \sin x \\ 1 - \sin ^2 x & = \sin x \\ \sin ^2 x + \sin x - 1 & = 0 \, \, \, \, \text{(substitusi } \, p = \sin x ) \\ p^2 + p - 1 & = 0 \rightarrow a = 1, b = 1, c = -1 \\ \text{Gunakan } \, & \, \text{ rumus ABC} & \\ p & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ p & = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4.1.(-1)}}{2.1} \\ p & = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align}$
sehingga nilai

$\sin x = p = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Karena

$x \,$ pada interval

$0 < x < \frac{\pi}{2} \,$ (kuadran I), maka nilai

$\sin x \,$ positif, dan yang memenuhi adalah

$\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
Jadi, nilai

$\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} . \heartsuit$

Nomor 4

Sebuah persegipanjang yang terbuat dari kawat besi mengalami pemuaian sehingga panjangnya bertambah 25% dari panjang mula-mula dan lebarnya bertambah sebesar 40% dari lebarnya semula. Berapa persen pertambahan luas persegipanjang tersebut dengan adanya pemuaian?

$\clubsuit \,$ Permisalan

$p_a \,$ = panjang awal ,

$\, l_a \,$ = lebar awal

$L_a \,$ = Luas awal =

$p_a.l_a$

$p_p \,$ = panjang adanya pemuaian ,

$\, l_p \,$ = lebar adanya pemuaian

$L_p \,$ = Luas adanya pemuaian =

$p_p.l_p$

$\clubsuit \,$ Menentukan panjang dan lebar ada pemuaiannya
*) panjang bertambah 25%

$p_p = p_a + 25\% p_a = p_a + 0,25p_a$

$p_p = 1,25p_a \,$ ....(i)
*) lebar bertambah 40%

$l_p = l_a + 40\% l_a = l_a + 0,4l_a$

$l_p = 1,4l_a \,$ ....(ii)

$\clubsuit \,$ Luas adanya pemuaian dari bentuk (i) dan (ii)

$\begin{align} L_p & = p_p . l_p \\ & = (1,25p_a).(1,4l_a ) \\ & = 1,75 p_a.l_a \\ & = 1,75L_a \\ & = L_a + 0,75L_a = L_a + 0,75 \times 100\% L_a\\ & = L_a + 75\% L_a \end{align}$
artinya luas bertambah 75% setelah adanya pemuaian.
Jadi, luasnya bertambah 75% .

$\heartsuit$

Nomor 5

Diketahui

${}^2 \log a > 1 \,$ dan

${}^3 \log b > 1 \,$ dengan

$a,b > 0 \,$ dan

$a \neq b \,$ . Hubungan antara

$a \,$ dan

$b \,$ yang berlaku adalah .....

$\spadesuit \,$ Konsep pertidaksamaan logaritma

${}^c \log f(x) > {}^c \log g(x) \rightarrow f(x) > g(x)$
dengan syarat :

$c > 1 \,$ (basisnya > 1)

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a \,$ dan

$b$

$\begin{align} {}^2 \log a > 1 \rightarrow {}^2 \log a & > {}^2 \log 2 \\ a & > 2 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ {}^3 \log b > 1 \rightarrow {}^3 \log b & > {}^3 \log 3 \\ b & > 3 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$
Dari (i) dan (ii) diperoleh :

$a.b > 2.3 \rightarrow a.b > 6$
Jadi, hubungannya adalah

$ab > 6 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15