Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014

Nomor 1

Jika

$f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \,$ dan

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} = 3 \, ,$ maka

$f^\prime (0) = ....$

$\clubsuit \,$ Menghitung nilai limitnya

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \\ \frac{f(0)}{0} & = 3 \\ \infty & \neq 3 \end{align}$
Setelah disubstitusi

$x = 0 \,$ diperoleh nilai limitnya tidak sama dengan 3. Agar nilai limitnya sama dengan 3, maka bentuk limitnya harus bentuk tak tentu (

$\frac{0}{0}$ ) sehingga bisa diproses lagi salah satunya dengan turunan.

$\clubsuit \,$ Konsep penerapan turunan pada limit :

$\displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f^ \prime (x)}{g^\prime (x)}$
sampai hasilnya tidak

$\frac{0}{0}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan limit dengan turunan

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \, \, \, \text{(pembilang dan penyebut diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 3 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f^\prime (x) & = 3 \\ f^\prime (0) & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai

$f^\prime (0) = 3 . \heartsuit$
Catatan : Bentuk fungsi

$f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \,$ tidak berpengaruh pada soal ini.

Nomor 2

Misalkan suatu lingkaran dan persegi masing-masing mempunyai luas

$L \,$ dan

$P \, .$ Jika keliling keduanya sama, maka

$L = ....$

$\spadesuit \,$ Menentukan jari-jari dan panjang sisi dari luasnya
Lingkaran , luas =

$L \,$

$\begin{align} \text{ Luas lingkaran } & = L \\ \pi r^2 & = L \\ r^2 & = \frac{L}{\pi} \\ r & = \sqrt{\frac{L}{\pi}} \end{align}$
Persegi, luas =

$P \,$

$\begin{align} \text{ Luas persegi } & = P \\ s^2 & = P \\ s & = \sqrt{P} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hubungan

$L \,$ dan

$P$

$\begin{align} \text{ Keliling lingkaran } & = \text{ Keliling persegi } \\ 2\pi r & = 4 s \\ 2\pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 4 \sqrt{P} \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 2 \sqrt{P} \, \, \, \text{(kuadratkan kedua ruas)} \\ \pi ^2 . \frac{L}{\pi} & = 4 . P \\ \pi . L & = 4P \\ L & = \frac{4P}{\pi} \end{align}$
Jadi, diperoleh

$L = \frac{4P}{\pi} . \heartsuit$

Nomor 3

Agar

$a, \, 4a^2 - 2, \,$ dan

$8a^2 + 6 \,$ masing-masing merupakan suku ke-3, suku ke-5, dan suku ke-9 suatu barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut adalah ....

$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika, misalkan suku pertamanya

$p \,$ (agar tidak rancu dengan

$a\,$ yang diketahui pada soal) dan bedanya

$b \,$ .
Rumus suku ke-

$n\,$ :

$u_n = u_1 + (n-1) b \, \rightarrow u_n = p + (n-1)b$

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan dengan

$u_n = p + (n-1)b$

$u_3 = a \rightarrow p + 2b = a \,$ ....pers(i)

$u_5 = 4a^2 - 2 \rightarrow p + 4b = 4a^2 - 2 \,$ ....pers(ii)

$u_9 = 8a^2 + 6 \rightarrow p + 8b = 8a^2 + 6 \,$ ....pers(iii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ p + 2b = a & - \\ \hline 2b = 4a^2 - a - 2 \end{array}$
diperoleh

$2b = 4a^2 - a - 2 \rightarrow b = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \,$ ....pers(iv)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)

$\begin{array}{cc} p + 8b = 8a^2 + 6 & \\ p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ \hline 4b = 4a^2 + 8 \end{array}$
diperoleh

$4b = 4a^2 + 8 \,$ ....pers(v)

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(iv) ke pers(v)

$\begin{align} 4b & = 4a^2 + 8 \\ 4. \left( \frac{4a^2 - a - 2}{2} \right) & = 4a^2 + 8 \\ 2 (4a^2 - a - 2) & = 4a^2 + 8 \\ 4a^2 -2a - 12 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a^2 - a - 6 & = 0 \\ (2a + 3) (a - 2) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = 2 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi nilai

$a \,$ ke pers(iv)

$\begin{align} a = -\frac{3}{2} \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(\frac{9}{4}) + (\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{17}{4} \\ a = 2 \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(2)^2 - 2 - 2}{2} \\ b & = \frac{12}{2} \\ b & = 6 \end{align}$
Jadi, bedanya adalah

$b = \frac{17}{4} \vee b = 6 . \heartsuit$

Nomor 4

Jika

$f(x) = 2x + \sin 2x \,$ untuk

$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} , \,$ maka

$f^\prime (x) = ....$
(A)

$4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( \tan x )^i$
(B)

$4 ( 1 - \cos ^2 x )$
(C)

$4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i}$
(D)

$4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( - \sin x )^{2i}$
(E)

$4 \cos 2x$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar
turunan :

$y = \sin [g(x)] \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos [g(x)]$
Trigonometri :

$\cos 2x = 2\cos ^2 x - 1$

$1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x \,$ dan

$\cos x = \frac{1}{\sec x}$
Deret tak hingga :

$s_\infty = \frac{a}{1-r}$
sehingga ,

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 + (-x^2) + x^4 + (-x^6) + ....$
Notasi sigma :

$\displaystyle \sum_{i=0}^\infty a^i = a^0 + a^1 + a^2 + a^3 + a^4 + .....$

$\spadesuit \,$ Menentukan turunan dan memodifikasinya

$\begin{align} f(x) & = 2x + \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 2 + 2 \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2(1 + \cos 2x ) \\ & = 2(1 + 2\cos ^2 x \, - 1 ) \\ & = 4\cos ^2 x \\ & = 4. \frac{1}{\sec ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 + \tan ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 - (- \tan ^2 x) } \\ & = 4 ( 1 + (-\tan ^2 x) + (\tan ^4 x ) + (-\tan ^6 x ) + .... \\ & = 4 ( 1 -\tan ^2 x + \tan ^4 x -\tan ^6 x + .... \\ & = 4 ( (-1)^0(\tan x)^{2.0} + (-1)^1(\tan x)^{2.1} + (-1)^2(\tan x)^{2.2} + .... \\ & = 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} \end{align}$
Jadi, turunannya adalah