Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 122 tahun 2012

Nomor 1

Jika

$a$ dan

$b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi

$a^b=2^{20}-2^{19}$ , maka nilai

$a+b$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Rumus dasar :

$a^{m+n} = a^m.a^n$

$\begin{align} a^b & =2^{20}-2^{19} \\ & = 2^{1+19} - 2^{19} \\ & = 2^1.2^{19} - 2^{19} \\ & = 2^{19} [2-1] \\ a^b & = 2^{19} \end{align}$
Sehingga,

$a=2 \,$ dan

$\, b=19$
Jadi,

$a+b=2+19 = 21 . \, \heartsuit$

Nomor 2

Jika

${}^{2}\log 3 = x$ dan

${}^{3}\log 7 = y$ , maka nilai

${}^{3}\log 14$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Sifat dasar logaritma :

$^a \log (b.c ) = ^a \log b + ^a \log c \,$ dan

$\, ^a\log b = \frac{1}{^b \log a}$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan bentuk

${}^{3}\log 14$

$\begin{align} {}^{3}\log 14 & = {}^{3}\log (2.7) \\ & = {}^{3}\log 2 + {}^{3}\log 7 \\ &= \frac{1}{^2 \log 3} + {}^{3}\log 7 \\ &= \frac{1}{x} + y \\ & = \frac{1+xy}{x} = \frac{xy+1}{x} \end{align}$
Jadi, nilai

${}^{3}\log 14 = \frac{xy+1}{x} . \heartsuit$

Nomor 3

Jika

$p+1$ dan

$p-1$ adalah akar-akar persamaan

$x^2-4x+a=0$ , maka nilai

$a$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Akar-akar persamaan

$x^2-4x+a=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_1 = p+1 \\ x_2=p-1 \end{array} \right.$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$p$ dan

$a$ dengan operasi akar-akar:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \Leftrightarrow (p+1)+(p-1) = \frac{-(-4)}{1} \Leftrightarrow 2p = 4 \Leftrightarrow p =2$

$x_1. x_2 = \frac{c}{a} \Leftrightarrow (p+1).(p-1) = \frac{a}{1} \Leftrightarrow (2+1).(2-1) = a \Leftrightarrow 3 = a$
Jadi, nilai

$a = 3. \heartsuit$

Nomor 4

Jika

$f$ adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,0) , (2,0) , dan (0,2) , maka nilai

$f(7)$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Rumus Dasar :
persamaan Fungsi kuadrat yang melalui titik (

$x_1$ , 0) dan (

$x_2$ , 0) :

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

$\spadesuit \,$ fungsi kuadrat melalui titik (-1,0) , (2,0) :

$x_1=-1 , x_2=2$
Persamaan :

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

$\Rightarrow y=a(x-(-1))(x-2) \Rightarrow y=a(x+1)(x-2)\,$ ...pers(i)

$\spadesuit \,$ Substitusi (0,2) ke pers(i) untuk menentukan nilai

$a$ :

$y=a(x+1)(x-2) \Rightarrow 2=a(0+1)(0-2) \Rightarrow 2 = -2a \Rightarrow a=-1.$
Sehingga fungsi kuadratnya :

$f(x) = -(x+1)(x-2)$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$f(7)$ :

$f(x) = -(x+1)(x-2)$

$\Rightarrow f(7) = -(7+1)(7-2) \Rightarrow f(7) = -(8).(5) \Rightarrow f(7) = -40$
Jadi, nilai

$f(7) = -40. \heartsuit$

Nomor 5

Semua nilai

$x$ yang memenuhi

$(x+1)(x+2)\geq (x+2)$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Menentukan akar-akar pertidaksamaan

$\begin{align*} (x+1)(x+2) & \geq (x+2) \\ (x+1)(x+2) - (x+2) & \geq 0 \\ (x+2)[(x+1)-1] & \geq 0 \\ (x+2)x & \geq 0 \\ x=-2 \, & \vee \, x=0 \end{align*}$