Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 26 sampai 30


Nomor 26
Nilai dari $\cos 265^o - \cos 95^o = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\cos x - \cos y = -2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right).\sin \left( \frac{x-y}{2} \right) $
$\begin{align*} \cos 265^o - \cos 95^o & = -2\sin \left( \frac{265^o+95^o}{2} \right).\sin \left( \frac{265^o-95^o}{2} \right) \\ &= -2\sin 180^o.\sin 85^o \\ &= -2\times 0 \times \sin 85^o \\ &= 0 \end{align*}$
Jadi, nilai $\cos 265^o - \cos 95^o = 0. \heartsuit$
Nomor 27
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3} \right) =...$
$\clubsuit \,$ Rumus : $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} \right) = \frac{b-p}{2\sqrt{a}}$
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3} \right) &= \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ &= \frac{1-(-2)}{2\sqrt{1}} \\ &= \frac{3}{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3} \right)=\frac{3}{2} .\heartsuit $
Nomor 28
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\cos px = 1-2\sin ^2 \frac{p}{2}x \, $ dan $\, \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx}= \frac{a}{b}$
$\spadesuit \, $ sehingga $\cos x = 1-2\sin ^2 \frac{1}{2}x$
diperoleh: $1-\cos x = 1- (1-2\sin ^2 \frac{1}{2}x ) = 2\sin ^2 \frac{1}{2}x = 2\sin \frac{1}{2}x \sin \frac{1}{2}x $
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai limitnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2}x \sin \frac{1}{2}x}{2x.\sin 2x} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2}x }{2x} . \frac{\sin \frac{1}{2}x }{\sin 2x} \\ &= \frac{2. \frac{1}{2} }{2} . \frac{\frac{1}{2} }{2} \\ &= \frac{1}{2}. \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{8} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} = \frac{1}{8} . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Rumus yang digunakan: $1-\cos px = \frac{1}{2}(px)^2 \, $ dan $\, \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx}= \frac{a}{b}$
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}(1x)^2}{2x.\sin 2x} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{4} . \frac{x}{\sin 2x} \\ &= \frac{1}{4}. \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{8} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} = \frac{1}{8} . \heartsuit $
Nomor 29
Diketahui fungsi $g(x)= \frac{1}{3}x^3-A^2x-7$ , A konstanta. Jika $f(x)=g(2x-1)$ dan $f$ turun pada $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} $ , nilai maksimum relatif $g(x)$ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan $f(x)$ dan turunannya :
$\begin{align*} f(x)&=g(2x-1) \\ &= \frac{1}{3}(2x-1)^3-A^2(2x-1)-7 \\ f^\prime (x) &= (2x-1)^2 . 2 - 2A^2 \\ f^\prime (x) &= 8x^2-8x+2-2A^2 \end{align*}$
$\clubsuit \, f \, $ turun pada $ -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} $, artinya $ -\frac{1}{2} $ dan $ \frac{3}{2} $ adalah akar-akar dari $f^\prime (x) = 0 \Rightarrow 8x^2-8x+2-2A^2 = 0 $ .
$x_1 . x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow -\frac{1}{2} . \frac{3}{2} = \frac{2-2A^2}{8} \Rightarrow A^2 = 4 $
$\clubsuit \, $ Fungsi $g(x)$ menjadi $g(x)= \frac{1}{3}x^3-4x-7$
$\clubsuit \, $ Nilai maksimum/minimum : $g^\prime (x) = 0 $
$g^\prime (x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x=\pm 2$
$x=2 \Rightarrow g(2)=\frac{1}{3}.2^3-4.2-7=-\frac{37}{3} $
$x=-2 \Rightarrow g(2)=\frac{1}{3}.(-2)^3-4.(-2)-7=-\frac{5}{3} $
Jadi, nilai maksimum relatif dari $g(x)$ adalah $ -\frac{5}{3}. \heartsuit$
Nomor 30
Hasil dari $\int \frac{5x-1}{\left( 5x^2-2x+6 \right)^7}dx $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan integral dengan substitusi :
$\begin{align*} \int \frac{5x-1}{\left( 5x^2-2x+6 \right)^7}dx &=\int \frac{5x-1}{\left( u \right)^7} \frac{du}{u^\prime} \, \text{(misal : } \, u=5x^2-2x+6 ) \\ \\ &= \int \frac{5x-1}{u^7} \frac{du}{10x-2} \\ &= \int \frac{5x-1}{u^7} \frac{du}{2(5x-1)} \\ &= \frac{1}{2} \int u^{-7} du \\ &= \frac{1}{2}. \frac{1}{-6} . u^{-6} + c \\ &= -\frac{1}{12} . \frac{1}{u^6} + c \\ &= -\frac{1}{12\left( 5x^2-2x+6 \right)^6} + c \end{align*}$
Jadi, $\int \frac{5x-1}{\left( 5x^2-2x+6 \right)^7}dx = -\frac{1}{12\left( 5x^2-2x+6 \right)^6} + c . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.