Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jumlah semua bilangan ganjil antara bilangan 20 dan 60 adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan Aritmetika : $ U_n = a+ (n-1)b \, \, \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
Barisan bilangan ganjil antara 20 dan 60 adalah :
21, 23, 25, .... 59
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak suku dengan $ a = 21 \, \, $ dan $ \, b = 2 $
$\begin{align} U_n = 59 \rightarrow a+(n-1)b & = 59 \\ 21+(n-1)2 & = 59 \\ n & = 20 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Jumlah semua bilangan ($S_{20}$)
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_{20} & = \frac{20}{2}(2.21+19.2) \\ & = 10(42 + 38 ) \\ & = 800 \end{align}$
Jadi, jumlah semua bilangannya adalah 800. $\heartsuit $
Nomor 17
Jika $p, \, q , \, $ dan $\, r \, $ membentuk suku - suku deret aritmetika, maka $ p^2+q^2+r^2 = ....$
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $p, \, q, \, r $
Selisih sama : $ q-p = r-q \rightarrow q = \frac{p+r}{2} $
$\clubsuit \, $ Substitusikan nilai $q$
$\begin{align} p^2+q^2+r^2 & = p^2+\left( \frac{p+r}{2} \right)^2+r^2 \\ & = p^2+ \frac{p^2+r^2+2pr}{4} +r^2 \\ & = \frac{5p^2+2pr+5r^2}{4} \end{align}$
Jadi, bentuk lainnya adalah $ \frac{5p^2+2pr+5r^2}{4} . \heartsuit $
Nomor 18
Suku pertama, pembanding dan suku ke-($n-1$) dari deret geometri masing-masing adalah 1, 3, dan 243. Jumlah $n \, $ suku pertama = ....
$\spadesuit \, $ Deret Geometri : $ U_n = ar^{n-1} \, $ dan $\, S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak suku dengan $ a = 1, \, r=3, \, U_{n-1} = 243 $
$\begin{align} U_n = ar^{n-1} \rightarrow U_{n-1} & = ar^{(n-1)-1} \\ 243 & = 1.3^{n-2} \\ 3^5 & = 3^{n-2} \\ n-2 & = 5 \\ n & = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah 7 suku pertama
$\begin{align} S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \rightarrow S_7 & = \frac{1.(3^7-1)}{3-1} \\ & = \frac{2186}{2} = 1093 \end{align}$
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 1093 . $ \heartsuit $
Nomor 19
Jika M matriks berordo 2 $\times \, $ 2 dan $M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \, $ , maka $ M^2 \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar matriks
Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Sifat Invers : $ AB = C \rightarrow A = C.B^{-1} $
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks M
$\begin{align} M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \\ MP=Q \rightarrow M & = Q.P^{-1} \\ M & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) . \frac{1}{2.3-4.1}\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2.3+1.(-4) & -2.-1+1.2 \\ 14.3+10.-4 & 14.-1+10.2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks M$^2$
$\begin{align} M^2 & = M.M \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $ M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 20
Pak Agus bekerja selama 6 hari dengan 4 hari diantaranya lembur, mendapat upah Rp. 74.000,00. Pak Bardi bekerja selama 5 hari dengan 2 hari diantaranya lembur mendapat upah Rp.55.000,00. Pak Agus , pak Bardi dan pak Dodo bekerja dengan upah yang sama. Jika pak Dodo bekerja 5 hari dengan terus-menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan : upah kerja = $x$ tiap hari, dan upah lembur = $y$ tiap hari
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
pak Agus : $6x+4y = 74000 \, $ ...pers(i)
pak Bardi : $5x+2y = 55000 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 6x+4y = 74000 & \times 1 & 6x+4y = 74000 & \\ 5x+2y = 55000 & \times 2 & 10x+4y = 110000 & - \\ \hline & & -4x = -36000 \rightarrow x = 9000 & \end{array} $
pers(ii) : $ 5.(9000)+2y = 55000 \rightarrow y = 5000 $
sehingga upah pak Dodo :
$5x + 5y = 5(x+y) = 5(9000+5000) = 70.000$
Jadi, upah pak Dodo adalah 70.000 . $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.