Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 16 sampai 20

Nomor 16

Jumlah semua bilangan ganjil antara bilangan 20 dan 60 adalah ....

$\spadesuit \,$ Barisan Aritmetika :

$U_n = a+ (n-1)b \, \, \,$ dan

$\, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
Barisan bilangan ganjil antara 20 dan 60 adalah :
21, 23, 25, .... 59

$\spadesuit \,$ Menentukan banyak suku dengan

$a = 21 \, \,$ dan

$\, b = 2$

$\begin{align} U_n = 59 \rightarrow a+(n-1)b & = 59 \\ 21+(n-1)2 & = 59 \\ n & = 20 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Jumlah semua bilangan (

$S_{20}$ )

$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_{20} & = \frac{20}{2}(2.21+19.2) \\ & = 10(42 + 38 ) \\ & = 800 \end{align}$
Jadi, jumlah semua bilangannya adalah 800.

$\heartsuit$

Nomor 17

Jika

$p, \, q , \,$ dan

$\, r \,$ membentuk suku - suku deret aritmetika, maka

$p^2+q^2+r^2 = ....$

$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika :

$p, \, q, \, r$
Selisih sama :

$q-p = r-q \rightarrow q = \frac{p+r}{2}$

$\clubsuit \,$ Substitusikan nilai

$q$

$\begin{align} p^2+q^2+r^2 & = p^2+\left( \frac{p+r}{2} \right)^2+r^2 \\ & = p^2+ \frac{p^2+r^2+2pr}{4} +r^2 \\ & = \frac{5p^2+2pr+5r^2}{4} \end{align}$
Jadi, bentuk lainnya adalah

$\frac{5p^2+2pr+5r^2}{4} . \heartsuit$

Nomor 18

Suku pertama, pembanding dan suku ke-(

$n-1$ ) dari deret geometri masing-masing adalah 1, 3, dan 243. Jumlah

$n \,$ suku pertama = ....

$\spadesuit \,$ Deret Geometri :

$U_n = ar^{n-1} \,$ dan

$\, S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$

$\spadesuit \,$ Menentukan banyak suku dengan

$a = 1, \, r=3, \, U_{n-1} = 243$

$\begin{align} U_n = ar^{n-1} \rightarrow U_{n-1} & = ar^{(n-1)-1} \\ 243 & = 1.3^{n-2} \\ 3^5 & = 3^{n-2} \\ n-2 & = 5 \\ n & = 7 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan jumlah 7 suku pertama

$\begin{align} S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \rightarrow S_7 & = \frac{1.(3^7-1)}{3-1} \\ & = \frac{2186}{2} = 1093 \end{align}$
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 1093 .

$\heartsuit$

Nomor 19

Jika M matriks berordo 2

$\times \,$ 2 dan

$M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \,$ , maka

$M^2 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar matriks
Invers :

$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)$
Sifat Invers :

$AB = C \rightarrow A = C.B^{-1}$

$\clubsuit \,$ Menentukan matriks M

$\begin{align} M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \\ MP=Q \rightarrow M & = Q.P^{-1} \\ M & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) . \frac{1}{2.3-4.1}\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2.3+1.(-4) & -2.-1+1.2 \\ 14.3+10.-4 & 14.-1+10.2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan matriks M

$^2$

$\begin{align} M^2 & = M.M \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilai

$M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \heartsuit$

Nomor 20

Pak Agus bekerja selama 6 hari dengan 4 hari diantaranya lembur, mendapat upah Rp. 74.000,00. Pak Bardi bekerja selama 5 hari dengan 2 hari diantaranya lembur mendapat upah Rp.55.000,00. Pak Agus , pak Bardi dan pak Dodo bekerja dengan upah yang sama. Jika pak Dodo bekerja 5 hari dengan terus-menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah ....

$\spadesuit \,$ Misalkan : upah kerja =

$x$ tiap hari, dan upah lembur =

$y$ tiap hari

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan
pak Agus :

$6x+4y = 74000 \,$ ...pers(i)
pak Bardi :

$5x+2y = 55000 \,$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{c|c|cc} 6x+4y = 74000 & \times 1 & 6x+4y = 74000 & \\ 5x+2y = 55000 & \times 2 & 10x+4y = 110000 & - \\ \hline & & -4x = -36000 \rightarrow x = 9000 & \end{array}$
pers(ii) :

$5.(9000)+2y = 55000 \rightarrow y = 5000$
sehingga upah pak Dodo :

$5x + 5y = 5(x+y) = 5(9000+5000) = 70.000$
Jadi, upah pak Dodo adalah 70.000 .

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu