Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Diketahui

$f(x) = ax^2+bx+4$ . Jika gradien garis singgung kurva di

$x = 2 \,$ adalah

$-1 \,$ dan di

$x = 1 \,$ adalah 3, maka

$a+b = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar Gradien (

$m$ ) garis singgung :

$m = f^\prime (x)$

$f(x) = ax^2+bx+4 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b$

$\spadesuit \,$ Substitusi semua gradiennya dengan

$\, f^\prime (x) = 2ax + b$
*

$m = -1 \, \,$ saat

$\, x = 2 \, \,$ substitusi ke

$\, m = f^\prime (x)$

$\, \, \, -1 = f^\prime (2) \rightarrow -1 = 2a.2 + b \rightarrow 4a + b = -1 \, \,$ ...pers(i)
*

$m = 3 \, \,$ saat

$\, x = 1 \, \,$ substitusi ke

$\, m = f^\prime (x)$

$\, \, \, 3 = f^\prime (1) \rightarrow 3 = 2a.1 + b \rightarrow 2a + b = 3 \, \,$ ...pers(ii)

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} 4a + b = -1 & \\ 2a + b = 3 & - \\ \hline 2a=-4 & \\ a = -2 & \end{array}$
pers(ii) :

$2a + b = 3 \rightarrow 2.(-2) + b = 3 \rightarrow b = 7$
Sehingga :

$a+b = -2 + 7 = 5$
Jadi, nilai

$a + b = 5. \heartsuit$

Nomor 12

Jika

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , maka

$-2f^\prime (x) = ....$

$\clubsuit \,$ Rumus dasar Turunan :

$y = x^n \rightarrow y^\prime = n x^{n-1}$

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan fungsi

$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{\sqrt{x}} \\ f(x) & = x^\frac{-1}{2} \\ f^\prime (x) & = \frac{-1}{2}x^{\frac{-1}{2} - 1 } = -\frac{1}{2}x^\frac{-3}{2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{x^\frac{3}{2}} \\ f^\prime (x) & = -\frac{1}{2} \frac{1}{x\sqrt{x}} \end{align}$
Sehingga :

$-2f^\prime (x) = -2 . -\frac{1}{2} \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$
Jadi, nilai

$-2f^\prime (x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} . \heartsuit$

Nomor 13

Nilai - nilai yang memenuhi pertaksamaan

$\, \frac{2x-1}{3x+2} \geq 2 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaan

$\begin{align*} \frac{2x-1}{3x+2} & \geq 2 \\ \frac{2x-1}{3x+2} -2 & \geq 0 \\ \frac{2x-1}{3x+2} - \frac{2(3x+2)}{3x+2} & \geq 0 \\ \frac{-4x-5}{3x+2} & \geq 0 \\ x = -\frac{5}{4} \, & \vee \, x = -\frac{2}{3} \end{align*}$

Catatan : Akar - akar penyebut tidak diikutkan (pasti bolong)
Jadi, solusinya adalah

$HP = \{ -\frac{5}{4} \leq x < -\frac{2}{3} \} . \heartsuit$

Nomor 14

Deret

$S_4 = U_1 + U_2+U_3+U_4 \,$ merupakan deret aritmetika dan

$U_1 > U_2 \,$ . Jika determinan matriks

$\left( \begin{matrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end{matrix} \right) \,$ adalah

$-2 \,$ dan

$S_4=2 , \,$ maka

$\left( \begin{matrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end{matrix} \right)^{-1} = ....$

$\clubsuit \,$ Barisan Aritmetika :

$U_n = a+ (n-1)b \, \, \,$ dan

$\, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
karena

$U_1 > U_2 \,$ , maka bedanya negatif (

$b < 0$ ) .

$\clubsuit \,$ Menentukan determinan

$\begin{align} \left| \begin{matrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end{matrix} \right| & = -2 \\ U_1.U_4 - U_2.U_3 & = -2 \\ a.(a+3b) - (a+b).(a+2b) & = -2 \\ a^2+3ab - (a^2+3ab+2b^2) & = -2 \\ -2b^2 & = -2 \\ b^2 & = 1 \rightarrow b = \pm 1 \end{align}$
yang memenuhi adalah

$b = -1 \,$ karena harus negatif

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$\, a$ dari

$S_4 = 2$

$S_4=2 \rightarrow \frac{4}{2}(2a+3b) = 2 \rightarrow 2(2a+3.(-1)) = 2 \rightarrow a = 2$

$\clubsuit \,$ Menentukan matriksnya

$A = \left( \begin{matrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & a+b \\ a+2b & a+3b \end{matrix} \right)$

$A = \left( \begin{matrix} 2 & 2+(-1) \\ 2+2.(-1) & 2+3.(-1) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)$

$\clubsuit \,$ Menentukan Invers matriksnya
Konsep Invers :

$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)$

$\begin{align} A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} & = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) \\ A^{-1} & = \frac{1}{(-1.2)-(0.(-1))} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, inversnya adalah

$\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \heartsuit$

Nomor 15

Panjang sisi miring suatu segitiga siku - siku adalah

$2^{x+2} \,$ . Jika panjang dua sisi yang lain adalah 4 dan

$2^{2x+1} \,$ , maka nilai

$x \,$ yang memenuhi terletak pada interval ....

$\spadesuit \,$ Gambar

$\spadesuit \,$ Menentukan interval

$x \,$ dengan

$\, c > a \,$ dan

$\, c > b$

$\begin{align} c & > a \\ 2^{x+2} & > 4 \\ 2^{x+2} & > 2^2 \\ x+2 & > 2 \\ x & > 0 \, \, \, \text{...(HP1)} \end{align}$

$\begin{align} c & > b \\ 2^{x+2} & > 2^{2x+1} \\ x+2 & > 2x 1 \\ -x & > -1 \\ x & < 1 \, \, \, \text{...(HP2)} \end{align}$
Sehingga solusinya : HP =

$HP_1 \cap HP_2 = \{ 0 < x < 1 \}$
Jadi, interval nilai

$x \,$ adalah

$\{ 0 < x < 1 \} . \heartsuit$

Cara II :

$\spadesuit \,$ Gambar

$\spadesuit \,$ Berdasarkan gambar, berlaku pythagoras yaitu :
Misalkan :

$2^{2x} = p$

$\begin{align} a^2 + b^2 & = c^2 \\ 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^2. 2^{4x} & = 2^4.2^{2x} \\ 16 + 4. (2^{2x})^2 & = 16.2^{2x} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4 + (2^{2x})^2 & = 4.2^{2x} \, \, \, \, \, \, \text{(ganti } p) \\ 4 + p^2 & = 4p \\ p^2 - 4p + 4 & = 0 \\ (p-2)^2 & = 0 \\ p & = 2 \end{align}$
nilai

$x$ :

$p = 2 \rightarrow 2^{2x} = 2 \rightarrow 2x = 1 \rightarrow x = \frac{1}{2}$ .
Sehingga nilai

$a$ ada pada interval

$\{ 0 < x < 1 \}$
Jadi, nilai

$x \,$ ada pada interval

$\{ 0 < x < 1 \} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu