Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diberikan segitiga ABC dengan A(1,5), B(4,1), C(6,4). Persamaan garis yang melalui titik A dan tegak lurus garis BC adalah ....

$\spadesuit \,$ Gradien garis BC

$m_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{4-1}{6-4} = \frac{3}{2}$

$\spadesuit \,$ Garis melalui A tegak lurus BC

$m_1.m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = - \frac{2}{3}$

$\spadesuit \,$ Persamaan garis melalui titik A(1,5)

$\begin{align} y-y_1 & = m ( x-x_1) \\ y-5 & = - \frac{2}{3}. ( x-1) \\ 3y-15 & = -2x+2 \\ 2x+3y -17 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garisnya adalah

$2x+3y -17 = 0 . \heartsuit$

Nomor 7

Untuk

$-\pi \leq x \leq \pi \,$ , nilai

$x \,$ yang memenuhi

$\, 4\cos ^2 x - 4\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 3 = 0 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar :

$\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos x$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan persamaan

$\begin{align} 4\cos ^2 x - 4\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 3 & = 0 \\ 4\cos ^2 x - 4\cos x - 3 & = 0 \\ (2\cos x + 1)(2\cos x - 3) & = 0 \\ \cos x = -\frac{1}{2} \rightarrow x & = -\frac{2\pi}{3} \, \text{dan} \, \, x = \frac{2\pi}{3} \\ \cos x = \frac{3}{2} \rightarrow \, & \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Jadi, nilai

$x \,$ yang memenuhi adalah

$x = -\frac{2\pi}{3} \, \text{dan} \, \, x = \frac{2\pi}{3} . \heartsuit$

Nomor 8

$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2+6x+9} = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar :

$\cos px = 1-2\sin ^2 \frac{p}{2} x$

$1-\cos (x+3) = 1-[1-2\sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) ] = 2\sin \frac{1}{2} (x+3).\sin \frac{1}{2} (x+3)$

$\displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \,$ dengan syarat

$f(k) = 0$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2+6x+9} & = \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{2\sin \frac{1}{2} (x+3).\sin \frac{1}{2} (x+3) }{(x+3)(x+3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3} 2. \frac{\sin \frac{1}{2} (x+3)}{(x+3)} . \frac{\sin \frac{1}{2} (x+3) }{(x+3)} \\ & = 2 . \frac{\frac{1}{2}}{1} .\frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah

$\frac{1}{2} . \heartsuit$

Nomor 9

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{2x^2+5x+6} - \sqrt{2x^2+2x-1} \right) = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya

$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{2x^2+5x+6} - \sqrt{2x^2+2x-1} \right) & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{5-2}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{3}{2\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{3}{4} \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai limitnya adalah

$\frac{3}{4} \sqrt{2} . \heartsuit$

Nomor 10

Jika fungsi

$f(x)=x^3+px^2-9x \,$ hanya didefinisikan untuk nilai - nalai

$x\,$ yang memenuhi

$\, -6 \leq x \leq 0 \,$ dan mencapai nilai maksimum pada saat

$\, x =-3 \,$ , maka nilai

$p \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Nilai max/min , syarat :

$f^\prime (x) = 0$

$f(x)=x^3+px^2-9x \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 + 2px - 9$

$f^\prime (x) = 0 \rightarrow 3x^2 + 2px - 9 = 0 \, \, \,$ ....pers(i)

$\spadesuit \,$ Nilai maksimum saat

$x = - 3 \,$ , artinya

$x = -3 \,$ adalah solusi dari pers(i), sehingga bisa disubstitusi ke pers(i)

$\begin{align*} 3x^2 + 2px - 9 & = 0 \\ 3(-3)^2 + 2p.(-3) - 9 & = 0 \, \, \text{(bagi 3)} \\ 9 -2p -3 & = 0 \\ 2p & = 6 \\ p & = 3 \end{align*}$
Jadi, nilai

$p =3 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 6 sampai 10

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar