Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 622 tahun 2015 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

$\frac{3}{x} < x-2 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaan

$\begin{align} \frac{3}{x} & < x-2 \\ \frac{3}{x} - (x-2) & < 0 \\ \frac{3}{x} - \frac{(x-2)x}{x} & < 0 \\ \frac{3-(x^2-2x)}{x} & < 0 \\ \frac{-x^2 + 2x + 3}{x} & < 0 \\ \frac{(-x+3)(x+1)}{x} & < 0 \\ x = 3, x = -1, x & = 0 \end{align}$

Jadi, solusinya

$HP = \{ -1 < x < 0 \vee x > 3 \} . \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui suatu fungsi

$f \,$ bersifat

$f(-x) = -f(x) \,$ untuk setiap bilangan real

$x . \,$ Jika

$f(3) = -5 \,$ dan

$f(-5) = 1, \,$ maka

$f(f(-3)) = ....$

$\clubsuit \,$ Diketahui

$f(-x) = -f(x) \,$ ....pers(i)
berlaku juga :

$f(x) = - f(-x) \,$ ....pers(ii)

$\clubsuit \,$ Diketahui nilai :

$f(3) = -5 \,$ dan

$f(-5) = 1$

$f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \,$ ....dari pers(i)

$f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \,$ ....dari pers(ii)

$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai

$f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$

Nomor 8

Diketahui sistem persamaan

$\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2}{2} - \frac{x-y}{3}=1, \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y+1}{2}=2. \end{array} \right.$
Nilai

$x + y \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan sistem persamaan

$\begin{align} \frac{x+2}{2} - \frac{x-y}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3(x+2) - 2(x-y) & = 6 \\ x + 2y & = 0 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y+1}{2} & =2 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2(x+y) - 3(y+1) & = 12 \\ 2x - y & = 15 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 0 & \times 1 & x + 2y = 0 & \\ 2x - y = 15 & \times 2 & 4x - 2y = 30 & + \\ \hline & & 5x = 30 & \\ & & x = 6 & \end{array}$
pers(i) :

$x + 2y = 0 \rightarrow 6 + 2y = 0 \rightarrow y = -3$
Sehingga nilai

$x + y = 6 + (-3) = 3$
Jadi, nilai

$x + y = 3 . \heartsuit$

Nomor 9

Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan

$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan

$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai D

$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00.

$\heartsuit$

Nomor 10

Jika

$f^{-1}(4x+5) = 8x+12 , \,$ maka

$f (x) = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep invers :

$f^{-1}(A) = B \Leftrightarrow A = f(B)$
sehingga :

$f^{-1}(4x+5) = 8x+12 \Rightarrow 4x+5 = f(8x+12)$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$f(x)$
Misal :

$p = 8x+12 \rightarrow x = \frac{p-12}{8}$
Substitusi bentuk

$p$

$\begin{align} f(8x+12) & = 4x+5 \\ f(p) & = 4\left( \frac{p-12}{8} \right) +5 \\ f(p) & = \frac{p-12}{2} +5 \\ f(p) & = \frac{p-12}{2} + \frac{10}{2} \\ f(p) & = \frac{p-2}{2} \end{align}$
Sehingga diperoleh :

$f(x) = \frac{x-2}{2}$
Jadi, diperoleh

$f(x) = \frac{x-2}{2} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15