Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} a & 2 \\ 2a & 2 \end{matrix} \right] \, $
merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A^2) = 16 det \left( (A^2)^{-1} \right) \, $
adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A^n | = |A|^n $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} a & 2 \\ 2a & 2 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = a.2 - 2a.2 = 2a - 4a = -2a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A^2) & = 16 det \left( (A^2)^{-1} \right) \\ |A^2| & = 16 \left| (A^2)^{-1} \right| \\ |A^2| & = 16 . \frac{1}{|A^2|} \\ |A|^2 & = 16 . \frac{1}{|A|^2} \\ |A|^4 & = 16 \\ (-2a)^4 & = 16 \\ 16a^4 & = 16 \\ a^4 & = 1 \\ a & = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = (-1) . 1 = -1 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah $ -1. \heartsuit $
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A^n | = |A|^n $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} a & 2 \\ 2a & 2 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = a.2 - 2a.2 = 2a - 4a = -2a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A^2) & = 16 det \left( (A^2)^{-1} \right) \\ |A^2| & = 16 \left| (A^2)^{-1} \right| \\ |A^2| & = 16 . \frac{1}{|A^2|} \\ |A|^2 & = 16 . \frac{1}{|A|^2} \\ |A|^4 & = 16 \\ (-2a)^4 & = 16 \\ 16a^4 & = 16 \\ a^4 & = 1 \\ a & = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = (-1) . 1 = -1 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah $ -1. \heartsuit $
Nomor 12
Jika akar-akar $ x^2 - ax -b = 0 \, $ saling berkebalikan dan salah satu akar tersebut merupakan bilangan bulat positif, maka nilai
terkecil yang mungkin untuk $ a + b \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Akar-akar berkebalikan
Misalkan akar-akar PK $ x^2 - ax - b = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2, \, $ karena saling berkebalikan, maka haruslah $ x_2 = \frac{1}{x_1} \, $ . Sehingga $ x_1 . x_2 = x_1 . \frac{1}{x_1} = 1 \, $ dengan $ x_1 \, $ sebagai akar bulat positif.
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar PK : $ x^2 -ax-b=0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-(-a)}{1} = a \rightarrow x_1 + \frac{1}{x_1} = a \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{-b}{1} \rightarrow 1 = -b \rightarrow b = -1 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$ a + b = (x_1 + \frac{1}{x_1}) + (-1) $
$ a+ b = x_1 + \frac{1}{x_1} - 1 \, $ ....pers(iii)
*). Agar nilai $ a + b \, $ sekecil mungkin, maka nilai $ x_1 \, $ harus sekecil mungkin. Karena $ x_1 \, $ adalah akar bulat positif, maka nilai terkecilnya adalah $ x_1 = 1 . $
Diperoleh :
$ a+b = x_1 + \frac{1}{x_1} - 1 = 1 + \frac{1}{1} - 1 = 1 $
Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk $ a + b \, $ adalah 1. $ \heartsuit $
Misalkan akar-akar PK $ x^2 - ax - b = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2, \, $ karena saling berkebalikan, maka haruslah $ x_2 = \frac{1}{x_1} \, $ . Sehingga $ x_1 . x_2 = x_1 . \frac{1}{x_1} = 1 \, $ dengan $ x_1 \, $ sebagai akar bulat positif.
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar PK : $ x^2 -ax-b=0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-(-a)}{1} = a \rightarrow x_1 + \frac{1}{x_1} = a \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{-b}{1} \rightarrow 1 = -b \rightarrow b = -1 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$ a + b = (x_1 + \frac{1}{x_1}) + (-1) $
$ a+ b = x_1 + \frac{1}{x_1} - 1 \, $ ....pers(iii)
*). Agar nilai $ a + b \, $ sekecil mungkin, maka nilai $ x_1 \, $ harus sekecil mungkin. Karena $ x_1 \, $ adalah akar bulat positif, maka nilai terkecilnya adalah $ x_1 = 1 . $
Diperoleh :
$ a+b = x_1 + \frac{1}{x_1} - 1 = 1 + \frac{1}{1} - 1 = 1 $
Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk $ a + b \, $ adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika garis $ g \, $ sejajar dengan garis $ y = 3 - 2x \, $ dan menyinggung kurva $ y = x^2-4x+2 , \, $ maka garis $ g \, $
memotong sumbu-Y di titik ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). garis $ y = ax+b \rightarrow \, $ gradiennya : $ m = a $
*). dua garis sejajar, maka gradiennya sama.
*). Persamaan garis singgung (PGS) di titik $(x_1,y_1)\, $ dan menyinggung kurva $ y = f(x) \, $ , persamaannya : $ y-y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan gradien $ m = f^\prime (x) $
$\spadesuit \, $ Garis $ g \, $ sejajar dengan garis $ y = 3-2x, \, $ artinya gradiennya sama
$ y = -2x + 3 \rightarrow m_g = -2 $
$\spadesuit \, $ garis $ g \, $ menyinggung kurva $ y = x^2 - 4x + 2, \, $ sehingga gradiennya : $ m_g = f^\prime (x) $
$\begin{align} m_g & = f^\prime (x) \\ -2 & = 2x - 4 \\ x & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke kurva untuk menentukan titik singgungnya
$\begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^2 - 4x + 2 \\ y & = 1^2 - 4.1 + 2 \\ y & = -1 \end{align}$
titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (1,-1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan PGS nya
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-1) & = -2(x-1) \\ y & = -2x + 1 \end{align}$
sehingga garis $ g \, \, : y = -2x + 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong garis $ g \, $ pada sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = -2x + 1 \\ y & = -2.0 + 1 = 1 \end{align}$
Jadi, garis $ g \, $ memeotong sumbu Y di titik $ (0, 1). \heartsuit $
*). garis $ y = ax+b \rightarrow \, $ gradiennya : $ m = a $
*). dua garis sejajar, maka gradiennya sama.
*). Persamaan garis singgung (PGS) di titik $(x_1,y_1)\, $ dan menyinggung kurva $ y = f(x) \, $ , persamaannya : $ y-y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan gradien $ m = f^\prime (x) $
$\spadesuit \, $ Garis $ g \, $ sejajar dengan garis $ y = 3-2x, \, $ artinya gradiennya sama
$ y = -2x + 3 \rightarrow m_g = -2 $
$\spadesuit \, $ garis $ g \, $ menyinggung kurva $ y = x^2 - 4x + 2, \, $ sehingga gradiennya : $ m_g = f^\prime (x) $
$\begin{align} m_g & = f^\prime (x) \\ -2 & = 2x - 4 \\ x & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke kurva untuk menentukan titik singgungnya
$\begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^2 - 4x + 2 \\ y & = 1^2 - 4.1 + 2 \\ y & = -1 \end{align}$
titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (1,-1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan PGS nya
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-1) & = -2(x-1) \\ y & = -2x + 1 \end{align}$
sehingga garis $ g \, \, : y = -2x + 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong garis $ g \, $ pada sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = -2x + 1 \\ y & = -2.0 + 1 = 1 \end{align}$
Jadi, garis $ g \, $ memeotong sumbu Y di titik $ (0, 1). \heartsuit $
Nomor 14
Nilai semua tes matematika dinyatakan dengan bilangan bulat dari sampai 10. Median terkecil yang mungkin bagi siswa yang memiliki
rata-rata nilai 7 dari enam kali tes adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata : $ \overline{X} = \frac{\text{Jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 x_6 \, $ yang telah diurutkan dari kecil ke besar dengan rata-ratanya 7, sehingga diperoleh :
$\begin{align} \overline{X} & = 7 \\ \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} & = 7 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 & = 42 \, \, \, \, \text{ ...pers(i)} \end{align} $
Sementara nilai mediannya : $ Me = \frac{x_3+x_4}{2} $
$\clubsuit \,$ Analisa nilai data yang mungkin
*). Agar mediannya sekecil mungkin, maka nilai $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ juga harus terkecil.
*). Agar $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ terkecil, maka nilai $ x_5 \, $ dan $ x_6 \, $ harus terbesar, dengan nilai $ x_5 = 10 \, $ dan $ x_6 = 10. $
$\begin{align} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 & = 42 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+10+10 & = 42 \\ x_1+x_2+x_3+x_4& = 22 \, \, \, \, \text{ ...pers(ii)} \end{align} $
*). karena nilai $ x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 , \, $ maka dari pers(ii) diperoleh nilai $ x_1 = 5, x_2=5, x_3=6,x_4=6 \, \, \, $ yang menyebabkan nilai $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ terkecil.
Sehingga : $ Me = \frac{x_3+x_4}{2} = \frac{6+6}{2} = 6 $
Jadi, nilai median terkecilnya adalah 6. $ \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 x_6 \, $ yang telah diurutkan dari kecil ke besar dengan rata-ratanya 7, sehingga diperoleh :
$\begin{align} \overline{X} & = 7 \\ \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} & = 7 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 & = 42 \, \, \, \, \text{ ...pers(i)} \end{align} $
Sementara nilai mediannya : $ Me = \frac{x_3+x_4}{2} $
$\clubsuit \,$ Analisa nilai data yang mungkin
*). Agar mediannya sekecil mungkin, maka nilai $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ juga harus terkecil.
*). Agar $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ terkecil, maka nilai $ x_5 \, $ dan $ x_6 \, $ harus terbesar, dengan nilai $ x_5 = 10 \, $ dan $ x_6 = 10. $
$\begin{align} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 & = 42 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+10+10 & = 42 \\ x_1+x_2+x_3+x_4& = 22 \, \, \, \, \text{ ...pers(ii)} \end{align} $
*). karena nilai $ x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 , \, $ maka dari pers(ii) diperoleh nilai $ x_1 = 5, x_2=5, x_3=6,x_4=6 \, \, \, $ yang menyebabkan nilai $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ terkecil.
Sehingga : $ Me = \frac{x_3+x_4}{2} = \frac{6+6}{2} = 6 $
Jadi, nilai median terkecilnya adalah 6. $ \heartsuit $
Nomor 15
Empat buku berjudul Sejarah, satu buku berjudul Sosiologi, dan satu buku berjudul Geografi akan disusun di lemari buku dalam satu baris.
Misalkan B adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika
buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian B adalah ....
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini menggunakan Permutasi Berulang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $ dan $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$ P(A^c) \, $ adalah komplemen(kebalikan) dari peluang $ P(A) $
pada soal ini kita misalkan :
$ A = \, $ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$ A^c = \, $ kejadian terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$\spadesuit \, $ Misal : J = Sejarah, L = Sosiologi, G = Geografi
Ada 4J 1L 1G , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!} = 6.5 = 30 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Kejadian A menyatakan kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Agar kejadian ini terjadi, salah satu caranya adalah kita blok menjadi lima bagian buku dengan tiga kemungkinan.
*). Kemungkinan I :
diperoleh KI = $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 $
*). Kemungkinan II :
ada $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 \, $
Hanya saja susunan JJLGJJ dan JJGLJJ sudah muncul pada kemungikan I, sehinga harus dikurangkan 2 .
diperoleh KII = 6 - 2 = 4 cara.
*). Kemungkinan III , 2J ada ditengah yaitu : JLJJGL dan JGJJLJ
diperoleh KIII = 2
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 6 + 4 + 2 = 12 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang komplemen [$P(A^c)$]
$ P(A^c) = 1 - P(A) = \frac{3}{5} $
Jadi, peluang kejadian sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun berurutan adalah $ \frac{3}{5}. \heartsuit $
Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2J, L, G, J, dan J dengan 2J posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (G, J, j) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
*). L dan G bisa saling ditukar, sehingga susunannya ada 2! = 2 cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} \times 2! = 3 \times 2 = 6 \, $ cara yaitu JJLGJJ, JJLJGJ, JJLJJG, JJGLJJ, JJGJLJ, dan JJGJJL
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja 2J posisinya tetap dibelakang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $ dan $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$ P(A^c) \, $ adalah komplemen(kebalikan) dari peluang $ P(A) $
pada soal ini kita misalkan :
$ A = \, $ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$ A^c = \, $ kejadian terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$\spadesuit \, $ Misal : J = Sejarah, L = Sosiologi, G = Geografi
Ada 4J 1L 1G , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!} = 6.5 = 30 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Kejadian A menyatakan kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Agar kejadian ini terjadi, salah satu caranya adalah kita blok menjadi lima bagian buku dengan tiga kemungkinan.
*). Kemungkinan I :
diperoleh KI = $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 $
*). Kemungkinan II :
ada $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 \, $
Hanya saja susunan JJLGJJ dan JJGLJJ sudah muncul pada kemungikan I, sehinga harus dikurangkan 2 .
diperoleh KII = 6 - 2 = 4 cara.
*). Kemungkinan III , 2J ada ditengah yaitu : JLJJGL dan JGJJLJ
diperoleh KIII = 2
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 6 + 4 + 2 = 12 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang komplemen [$P(A^c)$]
$ P(A^c) = 1 - P(A) = \frac{3}{5} $
Jadi, peluang kejadian sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun berurutan adalah $ \frac{3}{5}. \heartsuit $
Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2J, L, G, J, dan J dengan 2J posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (G, J, j) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
*). L dan G bisa saling ditukar, sehingga susunannya ada 2! = 2 cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} \times 2! = 3 \times 2 = 6 \, $ cara yaitu JJLGJJ, JJLJGJ, JJLJJG, JJGLJJ, JJGJLJ, dan JJGJJL
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja 2J posisinya tetap dibelakang.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.