Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 620 tahun 2015 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Jika

$A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ a & 4 \end{matrix} \right] \,$ merupakan matriks yang mempunyai invers dan

$det(B) = 4 , \,$ maka hasil kali semua nilai

$a \,$ yang mungkin sehingga

$det(A) = 16 det \left( (AB)^{-1} \right) \,$ adalah .....

$\spadesuit \,$ sifat-sifat determinan

$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \,$ dan

$|A.B | = |A|.|B|$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai determinan A

$A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ a & 4 \end{matrix} \right]$

$det(A) = |A| = 2.4 - a.1 = 8 - a$
Diketahui juga :

$det(B) = |B| = 4$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\begin{align} det(A) & = 16 det \left( (AB)^{-1} \right) \\ |A| & = 16 | (AB)^{-1} | \\ |A| & = 16 . \frac{1}{|AB|} \\ |A| & = \frac{16}{|A|.|B|} \\ |A|^2 & = \frac{16}{|B|} \\ (8-a)^2 & = \frac{16}{4} \\ (8-a)^2 & = 4 \\ 64-16a + a^2 & = 4 \\ a^2 -16a + 60 & = 0 \\ (a-6)(a-10) & = 0 \\ a_1=6 \vee a_2 & = 10 \end{align}$
hasil kali nilai

$a \,$ adalah

$a_1.a_2 = 6.10 = 60$
atau gunakan operasi akar-akar :

$a^2 -16a + 60 = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{60}{1} = 60$
Jadi, hasil kali semua nilai

$a \,$ adalah 60.

$\heartsuit$

Nomor 12

Jika semua akar persamaan

$x^2 - px + 12 = 0 \,$ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai

$p \,$ yang mungkin adalah .....

$\clubsuit \,$ Persamaan kuadrat :

$x^2 - px + 12 = 0$

$a = 1, \, b = -p , \,$ dan

$c = 12$

$\clubsuit \,$ Operasi akar-akar :

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p \,$ ....pers(i)

$x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{1} = 12 \,$ ....pers(ii)

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$p \,$ dari pers(i) dan pers(ii) dengan

$x_1 \,$ dan

$x_2 \,$ bilangan bulat positif.

$x_1 + x_2 = p \,$ dan

$x_1.x_2 = 12$
*).

$x_1 = 1, \, x_2 = 12 \rightarrow p = x_1+x_2 = 1+12 = 13$
*).

$x_1 = 2, \, x_2 = 6 \rightarrow p = x_1+x_2 = 2+6 = 8$
*).

$x_1 = 3, \, x_2 = 4 \rightarrow p = x_1+x_2 = 3+4 = 7$
Sehingga jumlah semua nilai

$p \,$ yang mungkin :
Jumlah = 13 + 8 + 7 = 28.
Jadi, jumlah semua nilai

$p \,$ adalah 28.

$\heartsuit$

Nomor 13

Jika garis

$g \,$ sejajar dengan garis

$y = 2 + x \,$ dan menyinggung kurva

$y = x^2-3x+3 , \,$ maka garis

$g \,$ memotong sumbu-Y di titik ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar
*). garis

$y = ax+b \rightarrow \,$ gradiennya :

$m = a$
*). dua garis sejajar, maka gradiennya sama.
*). Persamaan garis singgung (PGS) di titik

$(x_1,y_1)\,$ dan menyinggung kurva

$y = f(x) \,$ , persamaannya :

$y-y_1 = m(x-x_1) \,$ dengan gradien

$m = f^\prime (x)$

$\spadesuit \,$ Garis

$g \,$ sejajar dengan garis

$y = 2 + x, \,$ artinya gradiennya sama

$y = x + 2 \rightarrow m_g = 1$

$\spadesuit \,$ garis

$g \,$ menyinggung kurva

$y = x^2 - 3x + 3, \,$ sehingga gradiennya :

$m_g = f^\prime (x)$

$\begin{align} m_g & = f^\prime (x) \\ 1 & = 2x - 3 \\ x & = 2 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi

$x = 2 \,$ ke kurva untuk menentukan titik singgungnya

$\begin{align} x = 2 \rightarrow y & = x^2 - 3x + 3 \\ y & = 2^2 - 3.2 + 3 \\ y & = 1 \end{align}$
titik singgungnya :

$(x_1,y_1) = (2,1)$

$\spadesuit \,$ Menentukan PGS nya

$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = 1(x-2) \\ y & = x - 1 \end{align}$
sehingga garis

$g \, \, : y = x - 1$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong garis

$g \,$ pada sumbu Y dengan substitusi

$x = 0$

$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = x - 1 \\ y & = 0 -1 = -1 \end{align}$
Jadi, garis

$g \,$ memeotong sumbu Y di titik

$(0, -1). \heartsuit$

Nomor 14

Diketahui median dari 11 nilai pengamatan adalah 10, sedangkan rata-rata dari nilai pengamatan yang lebih kecil daripada median adalah 4. Jika rata-rata dari 11 nilai pengamatan tersebut sama dengan dua kali median, maka rata-rata nilai pengamatan yang lebih besar daripada median adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata gabungan

$(\overline{X}_{gb})$

$\begin{align} \overline{X}_{gb} = \frac{n_1\overline{X}_1 + n_2\overline{X}_2 + n_3\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \end{align}$
Keterangan :

$\overline{X}_{gb} = \,$ rata - rata gabungan

$\overline{X}_{1} = \,$ rata - rata kelompok I

$n_1 = \,$ banyak anggota kelompok I

$\clubsuit \,$ Data dibagi menjadi tiga kelompok
*). Kelompok I : data sebelum median ada 5 data dengan rata-rata 4, artinya

$n_1 = 5 \,$ dan

$\overline{X}_1 = 4$
*). Kelompok II : mediannya itu sendiri, ada 1 data dengan nilai 10, artinya

$n_2 = 1 \,$ dan

$\overline{X}_2 = 10$
*). Kelompok III : data setelah median ada 5 data dengan rata-rata misalkan

$a$ , artinya

$n_3 = 5 \,$ dan

$\overline{X}_3 = a$
*). rata-rata gabungan = dua kali median

$\overline{X}_{gb} = 2 \times 10 = 20$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_1\overline{X}_1 + n_2\overline{X}_2 + n_3\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \\ 20 & = \frac{5.4 + 1.10 + 5.a}{5 + 1 + 5} \\ 20 & = \frac{20 + 10 + 5a}{11} \\ 220 & = 30 + 5a \\ 5a & = 190 \\ a & = 38 \end{align}$
Jadi, rata-rata nilai pengamatan lebih besar daripada median adalah 38.

$\heartsuit$

Nomor 15

Empat buku berjudul Matematika dan dua buku berjudul Biologi akan disusun dilemari buku dalam satu baris. Misalkan A adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian A adalah ....

$\spadesuit \,$ Pada kasus ini menggunakan Permutasi Berulang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah

$\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \,$ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak

$\frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \,$ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).

$\spadesuit \,$ Konsep peluang

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \,$
pada soal ini kita misalkan :

$A = \,$ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.

$\spadesuit \,$ Misal : M = Matematika dan B = Biologi
Ada 4M 2B , artinya

$n(S) = \frac{6!}{4!.21} = 3.5 = 15$

$n(S) \,$ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)

$\spadesuit \,$ Menentukan

$n(A) \,$
Agar tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan, kita kelompokkan menjadi lima bagian dengan tiga kemungkinan, yaitu :
*). Kemungkinan I :

KI =

$\frac{3!}{2!} = 3 \,$ susunan : MMBBMM, MMBMBM, MMBMMB
*). Kemungkinan II :

ada

$\frac{3!}{2!} = 3 \,$ susunan : MMBBMM, MBMBMM, BMMBMM
hanya saja ada satu susunan buku (MMBBMM) sudah ada pada kemungkinan I,
sehingga, KII = 3 - 1 = 2 susunan
*). Kemungkinan III , 2M ada ditengah yaitu : MBMMBM
diperoleh KIII = 1 susunan
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :

$n(A) = KI + KII + KIII = 3 + 2 + 1 = 6$

$\spadesuit \,$ Menentukan peluangnya

$\begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \end{align}$
Jadi, peluang tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan adalah

$\frac{2}{5}. \heartsuit$

Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :

*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2M, B, B, M, dan M dengan 2M dan B posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (B, M, M) kita acak posisinya dengan banyak susunan

$\frac{3!}{2!} = 3 \,$ cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada

$\frac{3!}{2!} = 3 \,$ cara yaitu MMBBMM, MMBMBM, dan MMBMMB
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja B dan 2M posisinya tetap dibelakang.

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu