Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2000 nomor 26 sampai 30

Nomor 26

Hasil kali matriks

$(BA)(B+A^{-1})B^{-1} = ....$
A).

$AB + I$
B).

$BA + I$
C).

$A + B^{-1}$
AD).

$A^{-1} + B$
E).

$AB + A$

$\spadesuit \,$ Konsep perkalian matriks

$P.P^{-1} = P^{-1}.P = I, \, \, AI=IA=A \, \,$ dan

$PQ \neq QP$
dengan

$I \,$ adalah matriks identitas.

$\spadesuit \,$ Menentukan perkaliannya

$\begin{align} (BA)(B+A^{-1})B^{-1} & = (BA.B + BA.A^{-1}).B^{-1} \\ & = (BAB + BI).B^{-1} \\ & = (BAB + B).B^{-1} \\ & = BAB.B^{-1} + B.B^{-1} \\ & = BA.I + I \\ & = BA + I \end{align}$
Jadi, diperoleh

$(BA)(B+A^{-1})B^{-1} = BA + I . \heartsuit$

Nomor 27

Diketahui fungsi

$f(x) = \frac{x+1}{x}, \, x \neq 0 \,$ dan

$f^{-1} \,$ adalah invers

$f . \,$ Jika

$k \,$ adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka

$f^{-1} (k) = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep invers :

$f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$
Sehingga invers dari

$f(x) = \frac{x+1}{x}$

$f(x) = \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x+0} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{0x+1}{x-1} = \frac{1}{x-1}$
diperoleh :

$f^{-1} (x) = \frac{1}{x-1} \rightarrow f^{-1} (k) = \frac{1}{k-1}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$k$
Faktor (pembagi bulat positif) dari 210 :

$\{ 1, 2, 3, 5, 7, 6, 10, 14, 15, 21, 35, 30, 42, 70, 105, 210 \}$
Sehingga faktor primanya :

$\{ 2,3,5,7 \}$

$k \,$ adalah banyak faktor prima dari 210, artinya

$k = 4$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$f^{-1} (k)$

$\begin{align} k = 4 \rightarrow f^{-1} (k) & = \frac{1}{k-1} \\ f^{-1} (4) & = \frac{1}{4-1} \\ f^{-1} (4) & = \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi,

$k = 4 \,$ , sehingga nilai

$f^{-1} (k) = \frac{1}{3} . \heartsuit$

Nomor 28

Jika

$\left( \begin{matrix} 4^{x+2y} & 0 \\ 2 & 3x-2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 & 0 \\ 2 & 7 \end{matrix} \right) , \,$ maka

$x+y = ....$

$\spadesuit \,$ Dari persamaan matriks, diperoleh persamaan

$4^{x+2y} = 8 \,$ .....pers(i)

$3x-2 = 7 \,$ ......pers(ii)

$\spadesuit \,$ Konsep persamaan eksponen :

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x)$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$x \,$ dan

$y$
pers(ii) :

$3x-2 = 7 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3$
pers(i) dan nilai

$x = 3$

$\begin{align} 4^{x+2y} & = 8 \\ (2^2)^{3+2y} & = 2^3 \\ 2^{6+4y} & = 2^3 \\ \not{2}^{6+4y} & = \not{2}^3 \\ 6+4y & = 3 \\ 4y & = -3 \\ y & = - \frac{3}{4} \end{align}$
sehingga nilai

$x+ y = 3 +(-\frac{3}{4}) = \frac{12}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$
Jadi, nilai

$x + y = \frac{9}{4} . \heartsuit$

Nomor 29

Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. Banyaknya bilangan dengan angka-angka yang berlainan dan yang lebih kecil dari 400 adalah ....

$\clubsuit \,$ Angka-angka yang berlainan artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh digunakan lagi.

$\clubsuit \,$ Menentukan banyak susunan angkanya
Pilihan angka : 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 , artinya ada 6 pilihan angka.
*). Ratusan : agar nilainya kurang dari 400, maka ratusannya harus angka 2 atau 3, yang artinya ada 2 pilihan.
*). Puluhan : Satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga puluhannya tersisa 5 pilihan angka.
*). Satuan : untuk satuan menggunakan sisa angka yang ada yaitu 4 pilihan karena dua angka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Sehingga total angka yang terbentuk :

$2 \times 5 \times 4 = 40$
Jadi, banyaknya bilangan tiga angka kurang dari 400 adalah 40 angka.

$\heartsuit$

Nomor 30

Pendapatan rata-rata karyawan suatu perusahaan Rp 300.000 per bulan. Jika pendapatan rata-rata karyawan pria Rp 320.000 dan karyawan wanita Rp 285.000, maka perbandingan jumlah karyawan pria dengan karyawan wanita adalah .....

$\spadesuit \,$ Konsep rata-rata gabungan

$(\overline{X}_{gb})$

$\overline{X}_{gb} = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w }$
keterangan :

$\overline{X}_{gb} = \,$ rata-rata gabungan

$\overline{X}_p = \,$ rata-rata karyawan pria

$n_p = \,$ banyaknya karyawan pria
Diketahui pada soal :

$\overline{X}_{gb} = 300.000 , \, \overline{X}_p=320.000, \, \overline{X}_w=285.000$

$\spadesuit \,$ Menentukan perbandingan pria dan wanita

$(n_p : n_w)$

$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w } \\ 300000 & = \frac{n_p . 320000 + n_w.285000}{n_p + n_w } \\ 300000(n_p+n_w) & = 320000n_p + 285000n_w \, \, \, \, \text{(bagi 1000)} \\ 300(n_p+n_w) & = 320n_p + 285n_w \\ 300n_p+300n_w & = 320n_p + 285n_w \\ 300n_w - 285n_w & = 320n_p - 300n_p \\ 15n_w & = 20n_p \\ \frac{15}{20} & = \frac{n_p}{n_w} \\ \frac{3}{4} & = \frac{n_p}{n_w} \end{align}$
Jadi, perbandingan pria dan wanita adalah 3 : 4.

$\heartsuit$

Cara II :

$\spadesuit \,$ Konsep rata-rata gabungan

$(\overline{X}_{gb})$

$\overline{X}_{gb} = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w }$
dari rumus dasar di atas bisa dimodifikasi menjadi :

$\frac{n_p}{n_w} = \left| \frac{ \overline{X}_{gb} - \overline{X}_w}{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_p} \right|$
keterangan :

$\overline{X}_{gb} = \,$ rata-rata gabungan

$\overline{X}_p = \,$ rata-rata karyawan pria

$n_p = \,$ banyaknya karyawan pria
Diketahui pada soal :

$\overline{X}_{gb} = 300.000 , \, \overline{X}_p=320.000, \, \overline{X}_w=285.000$

$\spadesuit \,$ Menentukan perbandingan pria dan wanita

$(n_p : n_w)$

$\begin{align} \frac{n_p}{n_w} & = \left| \frac{ \overline{X}_{gb} - \overline{X}_w}{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_p} \right| \\ & = \left| \frac{ 300000 - 285000}{300000-320000} \right| \\ & = \left| \frac{ 15000}{-20000} \right| = \frac{ 15000}{20000} = \frac{ 3}{4} \end{align}$
Jadi, perbandingan pria dan wanita adalah 3 : 4.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu