Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2000 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diketahui

$f(x) = 2x+5$ dan

$g(x) = \frac{x-1}{x+4}$ . Jika

$(f \circ g) (a) = 5$ , maka

$a = ....$

$\spadesuit \,$ Menentukan fungsi komposisinya

$\begin{align} (f\circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f \left( \frac{x-1}{x+4} \right) \\ & = 2. \left( \frac{x-1}{x+4} \right) + 5 \\ (f\circ g) (x) & = \frac{7x+18}{x+4} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\begin{align} (f\circ g) (a) & = 5 \\ \frac{7a+18}{a+4} & = 5 \\ 7a+18 & = 5(a+4) \\ 7a+18 & = 5a + 20 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai

$a = 1 . \heartsuit$

Nomor 7

Grafik fungsi

$y = ax^2+bx-1$ memotong sumbu X di titik (

$\frac{1}{2}, \, 0$ ) dan (1,0). Fungsi ini mempunyai nilai ekstrim ....

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a$ ,

$b$ dengan substitusi ke

$y = ax^2+bx-1$

$(1,0) \rightarrow 0 = a.1^2 + b.1 - 1 \rightarrow a+b = 1$ ...pers(i)

$(\frac{1}{2},0) \rightarrow 0 = a.(\frac{1}{2})^2 + b.\frac{1}{2} - 1 \rightarrow a+2b = 4$ ...pers(ii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} a+2b = 4 & \\ a+b = 1 & - \\ \hline b = 3 & \end{array}$
pers(i) :

$a+b = 1 \rightarrow a+3 = 1 \rightarrow a = -2$
Sehingga fungsinya menjadi :

$f(x) = -2x^2 + 3x - 1$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai ekstrimnya

$\begin{align} y_p & = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ y_p & = \frac{3^2-4.(-2).(-1)}{-4.(-2)} = \frac{1}{8} \end{align}$
karena nilai

$a = -2$ (negatif), maka jenisnya maksimum.
Jadi, nilai ekstrimnya adalah maksimum sebesar

$\frac{1}{8} . \heartsuit$

Nomor 8

Fungsi

$y = (x-2a)^2 + 3b$ mempunyai nilai minimum 21 dan memotong sumbu Y dititik yang berordinat 25. Nilai

$a + b$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Nilai minimum fungsi adalah 21, artinya

$y_p = 21$ dengan

$y_p = \frac{D}{-4a}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$b$ dari

$y_p$

$\begin{align} y & = (x-2a)^2 + 3b \\ y & = x^2-4ax+4a^2+3b \\ \rightarrow a = 1, \, b = -4a, \, c & = 4a^2 + 3b \\ y_p & = 21 \rightarrow \frac{b^2-4ac}{-4a} = 21 \\ \frac{b(-4a)^2-4.1.(4a^2+3b)}{-4.1} & = 21 \\ \frac{16a^2-4(4a^2+3b)}{-4} & = 21 \\ -4a^2 + 4a^2 + 3b & = 21 \\ 3b & = 21 \rightarrow b = 7 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Fungsi memotong sumbu Y dengan ordinat 25, artinya titiknya (0,25). Substitusi titik (0,25) dan

$b = 7$ ke fungsi

$\begin{align} y & = (x-2a)^2 + 3b \\ 25 & = (0-2a)^2 + 3.7 \\ 25 & = 4a^2 + 21 \\ 4a^2 & = 4 \\ a^2 & = 1 \rightarrow a = \pm 1 \end{align}$
Sehingga diperoleh :

$a = 1 , \, b = 7 \rightarrow a+b = 1 + 7 = 8$

$a = -1 , \, b = 7 \rightarrow a+b = -1 + 7 = 6$
Jadi, nilai

$a+ b$ adalah 8 atau 6 .

$\heartsuit$

Nomor 9

Nilai dari

$\left| \frac{2x+7}{x-1} \right| \geq 1$ dipenuhi oleh ....

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar :

$|x|^2 = x^2$ dan

$p^2-q^2 = (p-q)(p+q)$

$\clubsuit \,$ Pertidaksamaan dikuadratkan

$\begin{align} \left| \frac{2x+7}{x-1} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} \right)^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} \right)^2 - 1^2 & \geq 0 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} -1 \right)\left( \frac{2x+7}{x-1} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{2x+7-(x-1)}{x-1} \right)\left( \frac{2x+7+(x-1)}{x-1} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x+8}{x-1} \right)\left( \frac{3x+6}{x-1} \right) & \geq 0 \\ x=-8, \, x = 1 , \, x & = -2 \end{align}$