Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Hasil penjumlahan semua penyelesaian

$\sin ^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \,$ untuk

$0 \leq x < 2\pi \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$x$

$\sin ^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \rightarrow \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2}$
Nilai

$\sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \,$ dibagi menjadi dua :

$\begin{align} \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} & = 45^\circ \rightarrow x = 75^\circ \\ x - \frac{\pi}{6} & = 135^\circ \rightarrow x = 165^\circ \\ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} & = 225^\circ \rightarrow x = 255^\circ \\ x - \frac{\pi}{6} & = 315^\circ \rightarrow x = 345^\circ \end{align}$
Sehingga jumlah semua nilai

$x \,$ yang memenuhi adalah
jumlah =

$75^\circ + 165^\circ + 255^\circ + 345^\circ = 840^\circ = \frac{14}{3} \pi$
Jadi, jumlah semua nilai

$x \,$ yang memenuhi adalah

$\frac{14}{3} \pi . \heartsuit$

Nomor 7

Misalkan ada 2 jalan dari kota A ke kota B, 4 jalan dari kota A ke kota C, 2 jalan dari kota B ke kota C. Dari kota B dan C masing-masing ada 3 jalan ke kota D. Jika seseorang dari kota A pergi ke kota D melalui kota B atau C atau kota B dan C, maka banyaknya cara yang dapat ia tempuh adalah ....

$\clubsuit \,$ Gambar Rute perjalanannya

Untuk menyelesaiakan soal ini, kita menggunakan kaidah pecacahan yaitu aturan perkalian.

$\clubsuit \,$ Rute Perjalanan yang ditempuh dari A ke D :
1). Melalui B saja : A - B - D = 2

$\times \,$ 3 = 6 cara
2). Melalui C saja : A - C - D = 4

$\times \,$ 3 = 12 cara
3). Melalui B dan C :

$\left\{ \begin{array}{cc} \text{A - B - C - D} & = 2 \times 2 \times 3 = 12 \, \text{cara} \\ \text{A - C - B - D} & = 4 \times 2 \times 3 = 24 \, \text{cara} \end{array} \right.$
Sehingga total cara rute yang ditempuh adalah
total = 6 + 12 + 12 + 24 = 54
Jadi, total cara yang ditempuh ada 54 rute perjalan.

$\heartsuit$

Nomor 8

Nilai rata-rata tes matematika di suatu kelas adalah 72. Nilai rata-rata siswa putra adalah 75 dan nilai rata-rata siswa putri adalah 70. Jika banyaknya siswa putri 6 lebih banyak dari siswa putra, maka banyaknya siswa di kelas tersebut adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Rata-rata gabungan :

$\overline{X}_\text{gb} = \frac{n_p.\overline{X}_p + n_l . \overline{X}_l}{n_p + n_l}$
Keterangan :

$\overline{X}_\text{gb} \,$ = Rata-rata gabungan = 72

$\overline{X}_p \,$ = Rata-rata kelompok perempuan = 70

$\overline{X}_l \,$ = Rata-rata kelompok laki-laki = 75

$n_p \,$ = banyaknya anggota kelompok perempuan

$n_l \,$ = banyaknya anggota kelompok laki-laki
Pada soal diketahui banyak siswa perempuan 6 lebih banyak siswa laki-laki, artinya

$n_p = n_l + 6$

$\spadesuit \,$ Menentukan banyak siswa laki-laki (

$n_l$ )

$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & = \frac{n_p.\overline{X}_p + n_l . \overline{X}_l}{n_p + n_l} \\ 72 & = \frac{(n_l+6).70 + n_l . 75}{(n_l+6) + n_l} \\ 72 & = \frac{70n_l + 420 + 75n_l}{2n_l+6} \, \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ 72.(2n_l +6) & = 145n_l + 420 \\ 144n_l + 432 & = 145n_l + 420 \\ n_l & = 12 \end{align}$
Sehingga banyak siswa perempuan :

$n_p = n_l + 6 = 12 + 6 = 18$
Total siswa =

$n_p+n_l \,$ = 18 + 12 = 30 siswa
Jadi, total siswa ada 30 siswa.

$\heartsuit$

Nomor 9

$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar :

$(p+q)(p-q) = p^2 - q^2 \,$ dan

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$\clubsuit \,$ Rasionalkan masing-masing pecahan

$\begin{align} & \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} . \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}-\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} . \frac{1 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} \\ & = \frac{ 18 - 2\sqrt{18}.\sqrt{12} + 12 }{18-12} + \frac{ 5(1 - \sqrt{6}) }{1 - 6} \\ & = \frac{ 30 - 2\sqrt{18.12} }{6} + \frac{ 5(1 - \sqrt{6}) }{-5} \\ & = \frac{ 30 - 2\sqrt{216} }{6} + [ -(1 - \sqrt{6}) ] \\ & = \frac{ 30 - 2 . 6 . \sqrt{6} }{6} + \sqrt{6} - 1 \\ & = 5 - 2 \sqrt{6} + \sqrt{6} - 1 \\ & = 4 - \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah

$4 - \sqrt{6} . \heartsuit$

Nomor 10

Nilai

$1-x \,$ yang memenuhi persamaan

$\sqrt{8^{3-x}} = 4.2^{1-2x} \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar eksponen
Persamaan :

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x)$
Sifat-sifat eksponen :

$a^m . a^n = a^{m+n} \, \, ; \, \, (a^m)^n = a^{m.n} \,$ dan

$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$x$

$\begin{align} \sqrt{8^{3-x}} & = 4.2^{1-2x} \\ (2^3)^\frac{3-x}{2} & = 2^2.2^{1-2x} \\ 2^{3.\frac{3-x}{2}} & = 2^{2+(1-2x)} \\ 2^{\frac{9-3x}{2}} & = 2^{3-2x} \\ \frac{9-3x}{2} & = 3-2x \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 9-3x & = 6 - 4x \\ x & = -3 \end{align}$
Sehingga nilai

$1 - x = 1 - (-3) = 4$
Jadi, nilai

$1 - x = 4 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20