Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Parabola

$y=-x^2+2ax+a-2 \,$ dan garis

$y = ax + a-2 \,$ berpotongan di titik (

$x_1,y_1$ ) dan (

$x_2,y_2$ ). Jika

$x_1 + x_2 = 2 , \,$ maka

$y_1 + y_2 = ....$

$\spadesuit \,$ Samakan kedua persamaan

$\begin{align} y \, \text{ (garis) } & = y \, \text{ (parabola)} \\ ax + a-2 & = -x^2+2ax+a-2 \\ x^2 -ax & = 0 \\ x(x-a) & = 0 \\ x=0 \vee x & = a \end{align}$
artinya

$x_1 = 0 \, \, \,$ dan

$\, \, x_2 = a$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a \,$ dari

$x_1 + x_2 = 2$

$\begin{align} x_1 + x_2 & = 2 \\ 0 + a & = 2 \\ a & = 2 \end{align}$
Sehingga diperoleh :

$x_1 = 0 \, \,$ dan

$\, x_2 = a = 2$

$\spadesuit \,$ Substitusi nilai

$a \,$ ke garis, dan menentukan nilai

$y$

$\begin{align} a = 2 \rightarrow y & = ax + a-2 \\ y & = 2x + 2-2 \\ y & = 2x \\ x_1 = 0 \rightarrow y & = 2x \\ y_1 & = 2.0 = 0 \\ x_2 = 2 \rightarrow y & = 2x \\ y_2 & = 2.2 = 4 \end{align}$
Sehingga nilai

$y_1 + y_2 = 0 + 4 = 4$
Jadi, nilai

$y_1 + y_2 = 4 . \heartsuit$

Nomor 12

Jika

$\alpha + 2\beta = 5 \,$ dan

$\alpha \beta = -2 \,$ maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya

$\frac{\alpha}{\alpha + 1} \,$ dan

$\frac{2\beta}{2\beta + 1} \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep Menyusun PK :

$x^2 - (HJ)x + (HK) = 0$
Keterangan : HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.

$\clubsuit \,$ Menentukan HJ dan HK dari

$\frac{\alpha}{\alpha + 1} \, \,$ dan

$\frac{2\beta}{2\beta + 1}$

$\begin{align} HJ & = (\frac{\alpha}{\alpha + 1} ) + (\frac{2\beta}{2\beta + 1}) \\ & = \frac{\alpha (2\beta + 1) + (\alpha + 1)(2\beta) }{(\alpha + 1)(2\beta + 1)} \\ & = \frac{2\alpha \beta + \alpha + 2\alpha \beta + 2\beta}{2\alpha \beta + (\alpha + 2\beta) + 1 } \\ & = \frac{4\alpha \beta + (\alpha + 2\beta) }{2\alpha \beta + (\alpha + 2\beta) + 1 } \\ & = \frac{4.(-2) + (5) }{2.(-2) + (5) + 1 } \\ HJ & = \frac{-3 }{2} \\ HK & = (\frac{\alpha}{\alpha + 1} ) . (\frac{2\beta}{2\beta + 1}) \\ & = \frac{2\alpha \beta}{2\alpha \beta + (\alpha + 2\beta) + 1} \\ & = \frac{2.(-2)}{2.(-2) + (5) + 1} \\ HK & = \frac{-4}{2} = -2 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menyusun PK

$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - (\frac{-3 }{2})x + (-2) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2x^2 + 3x - 4 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah

$2x^2 + 3x - 4 = 0 . \heartsuit$

Nomor 13

Daerah penyelesaian sistem pertaksamaan linear

$y \geq 0, \, x+y \leq 2, \, 3x-2y \leq 3 \,$ dan

$-2x+3y \leq 3 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep menentukan arsiran pada ketaksamaan :
Biasanya untuk menentukan daerah yang benar, kita mencoba substitusi satu titik sembarang ke pertidaksamaan, akan tetapi kali ini berbeda caranya, yaitu menggunakan perkalian tanda koefisien variabelnya ( x atau y ).
Konsep : Misal bentuk

$ax + by T_1 c \,$ dengan

$T_1 = \geq = + \,$ (positif) atau

$T_1 = \leq = - \,$ (negatif) dan

$T_x \,$ menyatakan nilai koefisien variabel

$x \,$ (bisa positif atau negatif) serta

$T_y \,$ menyatakan nilai koefisien variabel

$y \,$ (bisa positif atau negatif)
Caranya : Tentukan hasil perkalian

$T_x.T_1 \,$ atau

$T_y.T_1 \,$ (salah satu saja yang dikalikan) yang hasilnya bisa positif atau negatif .

$T_x.T_1 = \,$ positif artinya yang benar daerah kanannya

$T_x.T_1 = \,$ negatif artinya yang benar daerah kirinya

$T_y.T_1 = \,$ positif artinya yang benar daerah atasnya

$T_y.T_1 = \,$ negatif artinya yang benar daerah bawahnya

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong sumbu-sumbu
I).

$y \geq 0 \,$ adalah garis sumbu X
II).

$x+y \leq 2 \,$ tipotnya : (0,2) dan (2,0)
III).

$3x-2y \leq 3 \,$ tipotnya : (

$0,\frac{-3}{2}$ ) dan (1,0)
IV).

$-2x+3y \leq 3 \,$ tipotnya : (0,1) dan (

$\frac{-3}{2},0$ )
Gambarnya :

Arsir daerah yang salah, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) adalah daerah yang tidak terkena arsir sama sekali.
contoh perhitungan pada garis II :

$x+y \leq 2 \,$ dengan

$T_x = + \,$ dan

$T_1 = \leq = - \,$ sehingga hasil

$T_x.T_1 = + . - = - \,$ (negatif) . karena hasil kali

$T_x.T_1 \,$ negatif, maka daerah yang benar adalah sebelah kiri, sehingga yang salah daerah sebelah kanan, terlihat seperti gambar di atas. Untuk garis yang lain, coba sendiri ya sobat.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah yang tengah ( ada DHP-nya) yaitu opsi B.

$\heartsuit$

Nomor 14

Jika jumlah empat suku pertama dan jumlah tujuh suku pertama suatu barisan aritmetika beturut-turut 30 dan 84 maka jumlah ke limabelas suku pertama barisan itu adalah ....

$\spadesuit \,$ Deret aritmetika :

$s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$

$\spadesuit \,$ Menentukan persamaan dengan

$s_4 = 30 \,$ dan

$s_7 = 84$

$\begin{align} s_4 = 30 \rightarrow s_n & = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) \\ \frac{4}{2} (2a + (4-1)b) & = 30 \\ 2 (2a + 3b) & = 30 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a + 3b & = 15 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ s_7 = 84 \rightarrow s_n & = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) \\ \frac{7}{2} (2a + (7-1)b) & = 84 \\ \frac{7}{2} (2a + 6b) & = 84 \\ 7 (a + 3b) & = 84 \, \, \, \, \text{(bagi7)} \\ a + 3b & = 12 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} 2a + 3b = 15 & \\ a + 3b = 12 & - \\ \hline a = 3 & \end{array}$
pers(ii) :

$a + 3b = 12 \rightarrow 3 + 3b = 12 \rightarrow b = 3$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$s_{15}$

$\begin{align} s_n & = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) \\ s_{15} & = \frac{15}{2} (2a + (51-1)b) \\ s_{15} & = \frac{15}{\not{2}} (\not{2}.3 + \not{14}.3) \\ s_{15} & = 15 . (3 + 7.3) \\ s_{15} & = 15 .(24) = 360 \end{align}$
Jadi, jumlah ke limabelas suku pertama barisan itu adalah 360.

$\heartsuit$

Nomor 15

Suku ke 3, 5, dan 8 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah

$\frac{3x+1}{2}, \, 2x+2 , \, 4x-7. \,$ Jika

$u_n \,$ menyatakan suku ke

$n \,$ barisan tersebut, maka suku ke

$2n \,$ adalah ....
(A).

$5 + 3n$
(B).

$2 + 6n$
(C).

$2u_n$
(D).

$3 + 2u_n$
(E).

$3n + u_n$

$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika :

$u_n = a+(n-1)b$

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaannya

$u_3 = \frac{3x+1}{2} \rightarrow a + 2b = \frac{3x+1}{2} \,$ ....pers(i)

$u_5 = 2x+2 \rightarrow a + 4b = 2x+2 \,$ ....pers(ii)

$u_8 = 4x-7 \rightarrow a + 7b = 4x-7 \,$ ....pers(iii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)

$\begin{array}{cc} a + 7b = 4x-7 & \\ a + 4b = 2x+2 & - \\ \hline 3b = 2x - 9 & \\ b = \frac{2}{3}x - 3 & \end{array}$
dari Pers(ii) :

$a + 4b = 2x+2 \rightarrow a + 4(\frac{2}{3}x - 3) = 2x+2$

$\rightarrow a = -\frac{2}{3}x + 14$

$\clubsuit \,$ Substitusi nilai

$a \,$ dan

$b \,$ ke pers(i)

$\begin{align} a + 2b & = \frac{3x+1}{2} \\ (-\frac{2}{3}x + 14) + 2.( \frac{2}{3}x - 3) & = \frac{3x+1}{2} \\ x & = 9 \, \, \, \, \text{(hitung dengan sabar)} \end{align}$
Sehingga nilai

$a \,$ dan

$b \,$ :

$a = -\frac{2}{3}x + 14 = -\frac{2}{3}.9 + 14 = -6 + 14 = 8$

$b = \frac{2}{3}x - 3 = \frac{2}{3}.9 - 3 = 6 - 3 = 3$

$\clubsuit \,$ Menentukan rumus

$u_n \,$ dan

$u_{2n} \,$ dengan modifikasi

$\begin{align} u_n & = a+(n-1)b \\ u_n & = 8+(n-1).3 \\ u_n & = 8+ 3n - 3 \\ u_n & = 5+ 3n \\ & \text{(Menentukan } u_{2n} \, ) \\ u_n & = 5+ 3n \\ u_{2n} & = 5+ 3.(2n) \\ u_{2n} & = 5 + 6n \, \, \, \, \text{(modifikasi sesuai pilihannya)} \\ u_{2n} & = 5 + 3n + 3n \\ u_{2n} & = 3n + (5 + 3n) \, \, \, \, \text{(subst. } \, 5 + 3n = u_n ) \\ u_{2n} & = 3n + u_n \end{align}$
Jadi, diperoleh rumus

$u_{2n} = 3n + u_n . \heartsuit$
Catatan : Bentuk

$u_{2n} = 5 + 6n \,$ sebenarnya sudah benar, hanya saja belum ada di pilihan gandanya sehingga harus dimodifikasi lagi agar mengarah dan sama dengan yang ada pada pilihan ganda.

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20