Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 96 tahun 2010 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Persamaan garis singgung lingkaran dengan

$L : \, x^2 + y^2 -6x+8y=0 \,$ yang tegak lurus pada garis

$x + y = 1 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar lingkaran
*) Unsur-unsur lingkaran :
Persamaan lingkaran :

$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Pusat (

$a,b$ ) :

$a \frac{-A}{2} , \, b = \frac{-B}{2}$
Jari-jari :

$r = \sqrt{a^2 + b^2 - C }$
*) Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran
PGQ nya :

$y-b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2}$

$\clubsuit \,$ Menentukan unsur-unsur lingkaran

$x^2 + y^2 -6x+8y=0 \rightarrow A= -6, \, B = 8 , \, C = 0$
pusat (

$a,b$ ) dan jari-jari

$a = \frac{-A}{2} = \frac{-(-6)}{2} = 3 , \, b = \frac{-B}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - 0 } = \sqrt{25} = 5$

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien garis singgungnya

$x + y = 1 \rightarrow y = -x + 1 \rightarrow m_1 = -1$
garis singgung tegak lurus dengan garis

$x+ y = 1 \,$ sehingga

$m . m_1 = -1 \rightarrow m . (-1) = -1 \rightarrow m = 1$
artinya gradien garis singgungnya

$m = 1$

$\clubsuit \,$ Menentukan PGS nya dengan

$a = 3, b=-4, r= 5, m=1$

$\begin{align} y-b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y-(-4) & = 1.(x-3) \pm 5 \sqrt{1+1^2} \\ y+4 & = (x-3) \pm 5 \sqrt{2} \\ y & = x-7 \pm 5 \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah

$y = x-7 \pm 5 \sqrt{2} . \heartsuit$

Nomor 12

Diketahui suku banyak

$g(x) = x^3 + x^2 -x+b \,$ habis dibagi

$(x-1) \,$ . Jika

$g(x) \,$ dibagi

$(x^2-1) \,$ , maka sisanya adalah .....

$\spadesuit \,$ Teorema sisa :

$\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi

$x=a\,$ ke

$f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$b \,$ pada

$g(x) = x^3 + x^2 -x+b$

$g(x) : (x-1) \rightarrow \,$ sisa =

$g(1)$
Karena habis dibagi, maka sisanya sama dengan nol.

$\begin{align} \text{sisa } \, & = g(1) \\ 0 & = g(1) \\ 0 & = 1^3 + 1^2 -1 + b \\ b & = -1 \end{align}$
Fungsinya menjadi :

$g(x) = x^3 + x^2 -x - 1$

$\spadesuit \,$ Menentukan sisa

$g(x) \,$ dibagi

$(x^2-1)$

sehingga sisanya = 0
Jadi, sisa

$g(x) \,$ dibagi

$(x^2-1) \,$ adalah 0 .

$\heartsuit$

Nomor 13

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Misalkan P adalah titik potong diagonal ABCD dan Q adalah proyeksi B pada PF. Panjang PQ adalah ......

$\clubsuit \,$ Gambar
spmk_ub_5_2010

Proyeksi B pada PF adalah titik Q dengan syarat garis BQ tegak lurus dengan PF.

$\clubsuit \,$ Menentukan panjang sisi lainnya

$PB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$\Delta PBF \rightarrow PF = \sqrt{PB^2 + BF^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 4^2} = 2\sqrt{6}$

$\clubsuit \,$ Menentukan panjang BQ dengan luas

$\Delta PBF$

$\begin{align} L \, \Delta PBF \, \text{ (alas PF)} & = L \, \Delta PBF \, \text{ (alas PB)} \\ \frac{1}{2}.PF.BQ & = \frac{1}{2}. PB. BF \\ \frac{1}{2}.2\sqrt{6}. BQ & = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} . 4 \\ BQ & = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{4}{3} \sqrt{3} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan panjang PQ pada segitiga PBQ

$\begin{align} PQ & = \sqrt{PB^2 - BQ^2} \\ & = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\frac{4}{3} \sqrt{3})^2} \\ & = \sqrt{8 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ PQ & = \frac{2}{3} \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, panjang

$PQ = \frac{2}{3} \sqrt{6} . \heartsuit$

Nomor 14

Petunjuk C digunakan untuk nomor 14 dan 15 .
Diketahui garis

$g \,$ adalah garis singgung kurva

$x^2y=32 \,$ di titik (2,8). Pernyataan berikut yang benar adalah ....
(1). Garis

$g \,$ memotong sumbu X di titik (6,0)
(2). Garis

$g \,$ memotong sumbu Y di titik (0,18)
(3). Luas daerah dibawah garis

$g \,$ pada kuadran pertama adalah 36
(4). Persamaan garis

$g \,$ adalah

$y = -3x + 18$

$\spadesuit \,$ Persamaan garis singgung (PGS) di titik

$(x_1,y_1) ,$ adalah

$y-y_1 = m(x-x_1) \,$ dengan gradien

$m = f^\prime (x_1)$

$\spadesuit \,$ Menentukan gradien garis singgungnya di titik (2,8), artinya gradien

$m = f^\prime (2)$
konsep turunan :

$y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1}$

$\begin{align} x^2y & = 32 \\ y & = \frac{32}{x^2} = 32x^{-2} \\ y^\prime & = -2.32.x^{-3} = \frac{-64}{x^3} \\ m & = f^\prime (2) = \frac{-64}{2^3} = -8 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukana PGS nya di

$(x_1,y_1)=(2,8) \,$ dan

$m =-8$

$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-8 & = -8(x-2) \\ y-8 & = -8x + 16 \\ y & = -8x + 24 \end{align}$
Sehingga PGS nya :

$y = -8x + 24$

$\spadesuit \,$ Cek pernyataan (1) sampai (4)
(1). titik potong sumbu X , substitusi

$y = 0$

$y = -8x + 24 \rightarrow 0 = -8x + 24 \rightarrow x = 3$
sehingga titik potongnya (3,0) . (pernyataan (1) salah)
(2). titik potong sumbu Y , substitusi

$x = 0$

$y = -8x + 24 \rightarrow y = -8.0 + 24 \rightarrow y = 24$
sehingga titik potongnya (0,24) . (pernyataan (2) salah)
(3). gambar
spmk_ub_6_2010

Luas arsir =

$\frac{1}{2}.a.t=\frac{1}{2}.3.24=36$
pernyataan (3) benar.
(4). Pernyataan (4) salah karena PGSnya :

$y = -8x + 24$
Jadi, yang benar hanya pernyataan (3), tidak ada pilihannya.

$\heartsuit$

Nomor 15

Untuk dua himpunan A dan B , didefinisikan

$A-B = \{ x | x \in A \, \text{dan} \, x \not\in B \} \,$ dan

$A+B = (A\cup B) - ( A\cap B )$ .
Syarat yang harus dipenuhi agar

$A + B \,$ memiliki anggota himpunan yang sama dengan

$A - B \,$ adalah ...
(1).

$A \cap B = \emptyset$
(2).

$B = \emptyset$
(3).

$A \neq B$
(4).

$B \subseteq A$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar himpunan

$\emptyset = \,$ himpunan kosong (tidak ada anggotanya)

$S = \,$ himpunan semesta (ruang sampel)

$(\emptyset )^c = S \,$ artinya komplemen (lawan) dari himpunan kosong adalah himpunan semesta

$x \in A \,$ artinya

$x \,$ anggota dari himpunan A

$x \not\in A \,$ artinya

$x \,$ bukan anggota dari himpunan A

$x \not\in A \,$ sama saja dengan

$x \in A^c$

$\cup = \,$ gabungan dua himpunan (diambil semua)

$\cap = \,$ irisan dua himpunan (diambil yang sama)

$A \cup \emptyset = A , \, A \cap \emptyset = \emptyset$

$A \cup S = S , \, A \cap S = A$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan definisinya
*) definisi pertama :

$\begin{align} A-B & = \{ x | x \in A \, \text{dan} \, x \not\in B \} \\ A-B & = \{ x | x \in A \, \text{dan} \, x \in B^c \} \\ A-B & = \{ x | x \in (A \cap B^c ) \} \\ A-B & = (A \cap B^c ) \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align}$
*) definisi kedua menggunakan bentuk (i)

$\begin{align} A+B & = (A\cup B) - ( A\cap B ) \\ A+B & = (A\cup B) \cap ( A\cap B )^c \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Cek semua pernyataan menggunakan bentuk (i) dan (ii)
(1).

$A\cap B = \emptyset$
cek bentuk (ii) :

$\begin{align} A+B & = (A\cup B) \cap ( A\cap B )^c \\ A+B & = (A\cup B) \cap ( \emptyset )^c \\ A+B & = (A\cup B) \cap S \\ A+B & = (A\cup B) \end{align}$
dari

$A+B = (A\cup B) \,$ dan

$A-B = (A \cap B^c ) \,$ maka hasilnya tidak sama, yang artinya

$A +B \neq A-B \, .$ pernyataan (1) salah.
(2).

$B = \emptyset$
cek kedua bentuk (i) dan (ii) :

$\begin{align} \text{bentuk (i) : } \, A+B & = (A\cup B) \cap ( A\cap B )^c \\ A+B & = (A\cup \emptyset ) \cap ( A\cap \emptyset )^c \\ A+B & = (A ) \cap ( \emptyset )^c \\ A+B & = (A ) \cap S \\ A+B & = (A ) \\ \text{bentuk (ii) : } \, A-B & = (A \cap B^c ) \\ A-B & = (A \cap ( \emptyset )^c ) \\ A-B & = (A \cap S ) \\ A-B & = A \end{align}$
karena diperoleh

$A + B = A \,$ dan

$A -B = A \,$ , maka hasilnya sama, artinya

$A+B = A-B \,$ sehingga pernyataan (2) benar.
(3).

$A \neq B$
karena

$A \neq B \,$ , maka bisa saja hasilnya

$A \cap B = \emptyset \,$ , sehingga dari pernyataan (1) maka pernyataan (3) juga salah.
(4).

$B \subseteq A$

$B \subseteq A \,$ artinya semua anggota

$B \,$ ada di dalam himpunan

$A \,$ atau bisa saja

$A = B$
cek kedua bentuk (i) dan (ii) :

$\begin{align} \text{bentuk (i) : } \, A+B & = (A\cup B) \cap ( A\cap B )^c \\ A+B & = (A ) \cap ( B )^c = (A \cap B^c) \\ \end{align}$
karena diperoleh

$A + B = (A \cap B^c) \,$ dan

$A -B = (A \cap B^c) \,$ , maka hasilnya sama, artinya

$A+B = A-B \,$ sehingga pernyataan (4) benar.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4), sehingga pilihannya C.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu