Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009 nomor 11 sampai 15

Pembahasan soal SPMK UB Matematika IPA tahun 2009 ini agak ribet sobat, kenapa? karena soalnya menggunakan Petunjuk B dan Petunjuk C dalam menjawab soal, pasti dijamin panjang jawabannya karena harus diisi banyak alasan untuk setiap pernyataan.

Nomor 11

Petunjuk B digunakan untuk menjawab soal nomor 10 dan 11.
Sebuah kotak berisi 5 bola putih dan 6 bola hitam. Jika diambil 4 bola dari kotak tersebut, maka peluang terambilnya tepat 2 bola hitam pada pengambilan tersebut adalah

$\frac{5}{11} \,$ .
SEBAB
Banyaknya cara untuk mengambil 4 bola dari 11 bola dalam kotak adalah 330 cara.

$\clubsuit \,$ ada 5P dan 6H, artinya total ada 11 bola . Pada kasus pengambilan bola menggunakan kombinasi karena urutan tidak diperhatikan.
Konsep kombinasi :

$C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$\clubsuit \,$ diambil 4 bola dari 11 bola, total cara pengambilan :

$n(S) = C_4^{11} = \frac{11!}{(11-4)!.4!} = \frac{11!}{7!.4!} = 330$

$\clubsuit \,$ Harapannya terambil 2 bola hitam, karena harus terambil 4 bola maka sisanya harus terambil 2 bola putih. Sehingga harapannya terambil 2 bola putih dan 2 bola hitam. Total harapannya :

$n(A) = C_2^5.C_2^6 = 150$

$\clubsuit \,$ Menentukan peluang terambil 2 hitam dan 2 putih

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{150}{330} = \frac{5}{11}$

$\clubsuit \,$ Berdasarkan petunjuk B
*) Pernyataan pertama :
peluangnya =

$\frac{5}{11} \,$ (benar)
*) Pernyataan kedua :
banyak cara mengambil 4 bola dari 11 bola [

$n(S)$ ] adalah 330 cara. (benar)
karena kedua pernyataan benar dan ada hubungan sebab akibat, maka berdasarkan petunjuk B jawabannya adalah A.
Jadi, jawabannya A.

$\heartsuit$

Nomor 12

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 12 sampai 15.
Diketahui

$f(x) = \int \limits_a^x t \, dt \,$ dengan

$a > 0 \,$ . Jika

$f(2)=0, \,$ maka kurva tersebut memotong sumbu X pada titik ....
(1). (-4,0) (2). (2,0) (3). (4,0) (4). (-2,0)

$\spadesuit \,$ Konsep integral :

$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c$

$\spadesuit \,$ Menentukan fungsi

$f(x) \,$ dan substitusi

$f(2) = 0$

$\begin{align} f(x) & = \int \limits_a^x t \, dt \\ f(x) & = \frac{1}{2}t^2 |_a^x \\ f(x) & = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}a^2 \\ f(2) & = 0 \\ \frac{1}{2}.2^2 - \frac{1}{2}a^2 & = 0 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm 2 \end{align}$
karena

$a > 0, \,$ maka yang memenuhi adalah

$a = 2 \,$ , sehingga fungsinya menjadi :

$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}a^2 \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}.2^2$

$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2$

$\spadesuit \,$ Menentukan tipot sumbu X, substitusi

$y = 0$

$\begin{align} y = 0 \rightarrow f(x) & = \frac{1}{2}x^2 - 2 \\ 0 & = \frac{1}{2}x^2 - 2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align}$
artinya titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (-2,0), sehingga yang benar adalah pernyataan (2) dan (4) yaitu opsi C.
Jadi, jawabannya adalah C.

$\heartsuit$

Nomor 13

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 12 sampai 15.
Jika

$p, \, q \,$ dan

$r \,$ bilangan bulat dan memenuhi

$p-2r=q(p-1) , \,$ maka pernyataan berikut yang benar adalah ....
(1). Jika

$q \neq 1 \,$ maka

$p(1-q)=2r-q$
(2). Jika

$q =0 \,$ dan

$p \neq 1 \,$ maka

$r=2$
(3). Jika

$r = 1/2 \,$ dan

$p \neq 0 \,$ maka

$q=1$
(4). Jika

$p \neq 2r \,$ maka

$q = 0$

$\clubsuit \,$ Konsep logika matematika
*)

$p \Rightarrow q \,$ bernilai salah jika p bernilai benar (ruas kiri) dan q bernilai salah (ruas kanan), atau bentuknya

$B \Rightarrow S \,$ , ketarangan : B = Benar dan S = Salah.
*)

$p \Rightarrow q \,$ dibaca jika p maka q.
*) Dari pernyataan (1) sampai (4), kita anggap ruas kiri semuanya benar, sehingga kita tinggal cek ruas kanannya.

$\clubsuit \,$ Cek semua pernyataan
(1). Jika

$q \neq 1 \,$ maka

$p(1-q)=2r-q \,$
dapat ditulis :

$q \neq 1 \Rightarrow p(1-q)=2r-q$

$\begin{align} p-2r & = q(p-1) \, \, \, \, \text{(persamaan awal)} \\ p-2r & = qp-q \\ p-qp & = 2r-q \\ p(1-q) & = 2r - q \end{align}$
untuk

$q \neq 1 \,$ , maka nilai

$1-q \neq 0 \,$ , artinya

$p(1-q) = 2r - q \,$ (ruas kanan) bernilai benar. Karena ruas kanan benar, maka pernyataan (1) benar.
(2). Jika

$q =0 \,$ dan

$p \neq 1 \,$ maka

$r=2$
dapat ditulis :

$(q= 0 \wedge p\neq 1) \Rightarrow r = 2$

$\begin{align} q = 0 \rightarrow p-2r & = q(p-1) \, \, \, \, \text{(persamaan awal)} \\ p-2r & = 0.(p-1) \\ p-2r & = 0 \\ r & = \frac{p}{2} \end{align}$
untuk

$p\neq 0 \,$ , maka nilai

$r = \frac{p}{2} \,$ nilainya tidak selalu

$r = 2 \,$ karena nilai

$p \,$ banyak sekali, ini artinya pernyataan (2) salah. catatan : kebenaran ini berlaku umum.
(3). Jika

$r = 1/2 \,$ dan

$p \neq 0 \,$ maka

$q=1$
dapat ditulis :

$(r = 1/2 \wedge p \neq 0 ) \Rightarrow q = 1$

$\begin{align} r = 1/2 \rightarrow p-2r & = q(p-1) \, \, \, \, \text{(persamaan awal)} \\ p-2.\frac{1}{2} & = q(p-1) \\ p-1 & = q(p-1) \\ q & = \frac{p-1}{p-1} = 1 \end{align}$
artinya

$q = 1 \,$ (ruas kanan) bernilai benar, sehingga pernyataan (3) benar.
(4). Jika

$p \neq 2r \,$ maka

$q = 0$
dapat ditulis :

$p \neq 2r \Rightarrow q = 0$

$\begin{align} p-2r & = q(p-1) \, \, \, \, \text{(persamaan awal)} \\ q & = \frac{p-2r}{p-1} \end{align}$
nilai

$q = 0 \,$ diperoleh jika nilai

$p = 2r \,$ , artinya jika

$p\neq 2r \,$ maka nilai

$q \neq 0 \,$ (ruas kanan salah). Sehingga pernyataan (4) salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3) , sehingga jawabannya B .

$\heartsuit$

Nomor 14

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 12 sampai 15.
Diketahui pernyataan

$p \,$ dan

$q . \,$ Pernyataan berikut yang dapat bernilai salah adalah ....
(1).

$( p \wedge q ) \Rightarrow p$
(2).

$( p \wedge q ) \Rightarrow q$
(3).

$q \Rightarrow ( p \vee q )$
(4).

$( p \vee q ) \Rightarrow p$

$\spadesuit \,$ Tabel kebenaran logika matematika
spmk_ub_2_2009

Keterangan : B = Benar dan S = Salah
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa implikasi

$(\Rightarrow) \,$ akan bernilai salah jika ruas kiri bernilai benar (B) dan ruas kanan bernilai salah (S) atau bentuknya

$B \Rightarrow S$ . Sehingga patokannya ruas kanan dulu harus bernilai salah (S) kemudian ruas kiri bernilai benar (B).

$\spadesuit \,$ Kita cek semua pernyataan apakah benar atau salah
(1).

$( p \wedge q ) \Rightarrow p$
Pilih nilai p = S (ruas kanan) , maka otomatis nilai

$( p \wedge q ) = \,$ S (ruas kiri), sehingga

$( p \wedge q ) \Rightarrow p \equiv S \Rightarrow S \,$ (bernilai benar). Artinya pernyataan (1) benar.
(2).

$( p \wedge q ) \Rightarrow q$
Pernyataan (2) juga benar karena mirip dengan pernyataan (1).
(3).

$q \Rightarrow ( p \vee q )$
pilih nilai p = S dan q = S agar nilai

$( p \vee q ) \,$ = S (ruas kanan), sehingga

$q \Rightarrow ( p \vee q ) \equiv S \Rightarrow S \,$ (bernilai benar). Artinya pernyataan (3) benar.
(4).

$( p \vee q ) \Rightarrow p$
Pilih nilai p = S (ruas kanan) dan q = B , maka

$( p \vee q ) \,$ = B (ruas kiri), sehingga

$( p \vee q ) \Rightarrow p \equiv B \Rightarrow S \,$ (bernilai salah). artinya pernyataan (4) bisa salah.
Jadi, pernyataan yang benar (tidak salah) adalah (1), (2), dan (3), sehingga jawabannya A.

$\heartsuit$

Nomor 15

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 12 sampai 15.
Diketahui fungsi

$f(x)=\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 10x \,$ . Pernyataan yang benar untuk fungsi tersebut adalah ....
(1). Mempunyai nilai maksimum lokal di

$x = -5 \,$ dan minimum lokal di

$x = 1$
(2). Mempunyai titik belok di

$x= -2$
(3). Turun pada interval

$-5 < x < 1$
(4). Melewati titik (0,0)

$\clubsuit \,$ konsep turunan

$f^\prime (x) = 0 \rightarrow \,$ nilai maksimum/minimum

$f^\prime (x) > 0 \rightarrow \,$ fungsi naik

$f^\prime (x) < 0 \rightarrow \,$ fungsi turun

$f^{\prime \prime } (x) = 0 \rightarrow \,$ titik belok

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan fungsinya

$\begin{align} f(x) & =\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 10x \\ f^\prime (x) & = 2x^2 + 8x - 10 \\ f^{\prime \prime} (x) & = 4x + 8 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai maksimum/minimum :

$f^\prime (x) = 0$

$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2x^2 + 8x - 10 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + 4x - 5 & = 0 \\ (x-1)(x+5) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = - 5 \end{align}$
Garis bilangan turunannya :
spmk_ub_3_2009

keterangan :
*) Fungsi

$f(x) \,$ maksimum lokal di

$x = -5 \,$ dan minimum lokal di

$x = 1$ . artinya pernyataan (1) benar.
*) Fungsi turun pada interval

$-5 < x < 1 \,$
artinya pernyataan (3) benar.

$\clubsuit \,$ Menentukan titik belok :

$f^{\prime \prime } (x) = 0$

$\begin{align} f^{\prime \prime} (x) & = 0 \rightarrow 4x + 8 = 0 \rightarrow x = -2 \end{align}$
artinya

$f(x) \,$ mempunyai titik belok di

$x = -2 \,$ , pernyataan (2) benar.

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x =0 \,$ ke fungsi

$\begin{align} x =0 \rightarrow f(x) & = \frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 10x \\ f(0) & = \frac{2}{3}.0^3 + 4.0^2 - 10.0 = 0 \end{align}$
artinya fungsi

$f(x) \,$ melewati titik (0,0), pernyataan (4) benar.
Jadi, semua pernyataan benar, sehingga jawabannya E.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu