Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diketahui bahwa persamaan kuadrat

$x^2 + ax + b = 0 \,$ mempunyai akar-akar real

$x_1 > 0 \,$ dan

$x_2 > 0 \,$ . Jika

$x_1, \, x_2, \, x_1^2 x_2 \,$ , membentuk deret geometri dengan rasio 4, maka

$\frac{a}{b} \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ PK :

$x^2 + ax + b = 0 \,$ akar-akarnya

$x_1 \,$ dan

$x_2$
*)

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a$
artinya :

$x_1 + x_2 = -a \rightarrow a = -(x_1+x_2)$
*)

$x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{b}{1} = b$
artinya :

$x_1 . x_2 = b \rightarrow b = x_1.x_2$

$\spadesuit \,$ Barisan geometri :

$x_1, \, x_2, \, x_1^2 x_2$
Rasionya (

$r$ ) sama dengan 4 :

$\begin{align} r & = \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2 x_2}{x_2} = 4 \\ *) \, & \frac{x_1^2 x_2}{x_2} = 4 \rightarrow x_1^2 = 4 \rightarrow x_1 = 2 \\ *) \, & \frac{x_2}{x_1} = 4 \rightarrow x_2 = 4x_1 = 4.2 = 8 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\frac{a}{b}$

$\begin{align} \frac{a}{b} & = \frac{-(x_1+x_2)}{x_1.x_2} = \frac{-(2 + 8)}{2.8} = \frac{-10}{16} \\ \frac{a}{b} & = \frac{-5}{8} \end{align}$
Jadi, nilai

$\frac{a}{b} = \frac{-5}{8} . \heartsuit$

Nomor 7

Nilai

$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2}x \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar limit

$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}}$

$\clubsuit \,$ Menentukan hasil limitnya dengan modifikasi

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2}x & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{(\sqrt{2}x)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2x^2} \\ & b = 0 , \, p = 0 , \, a = 2 \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{0-0}{2\sqrt{2}} = 0 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 0 .

$\heartsuit$

Nomor 8

Nilai maksimum

$f(x,y) = 8x+5y \,$ untuk

$x \,$ dan

$y \,$ di daerah yang diarsir adalah ....
spmk_ub_1_2009

$\spadesuit \,$ Konsep persamaan garis
spmk_ub_1a_2009

$\spadesuit \,$ Menentukan persamaan garisnya
spmk_ub_1b_2009

garis I :

$9x + 3y = 9.3 \rightarrow 3x+y = 9$
garis II :

$6x+4y=6.4 \rightarrow 3x+2y=12$

$\spadesuit \,$ Eliminasi kedua persamaan untuk menentukan titik B

$\begin{array}{cc} 3x+2y=12 & \\ 3x+y = 9 & - \\ \hline y = 3 & \end{array}$
pers(i) :

$3x+y = 9 \rightarrow 3x+3 = 9 \rightarrow x = 2$
sehingga titik B(2,3)

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai maksimum

$f(x,y) = 8x+5y \,$ dengan substitusi semua titik pojoknya

$\begin{align} A(3,0) \rightarrow f & = 8.3+5.0 = 24 \\ B(2,3) \rightarrow f & = 8.2+5.3 = 16+15=31 \\ C(0,6) \rightarrow f & = 8.0+5.6 = 30 \end{align}$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 31.

$\heartsuit$

Nomor 9

Nilai

$x \,$ yang memenuhi persamaan

$\left( 8^{x + \frac{1}{3}} \right)^2 = 0,5\sqrt[3]{2^x} \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep eksponen
*) sifat eksponen

$(a^m)^n = a^{m.n}, \, \, \, \, a^m.a^n = a^{m+n}$

$(a)^{-n} = \frac{1}{a^n}, \, \, \, \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}$
*) Persamaan :

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x)$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$x$

$\begin{align} \left( 8^{x + \frac{1}{3}} \right)^2 & = 0,5\sqrt[3]{2^x} \\ 8^{2x + \frac{2}{3}} & = \frac{1}{2}.2^\frac{x}{3} \\ (2^3)^{2x + \frac{2}{3}} & = 2^{-1}.2^\frac{x}{3} \\ 2^{6x + 2} & = 2^{-1 + \frac{x}{3}} \\ 6x + 2 & = -1 + \frac{x}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 18x + 6 & = -3 + x \\ 17x & = -9 \\ x & = \frac{-9}{17} \end{align}$
Jadi, nilai

$x = \frac{-9}{17} . \heartsuit$

Nomor 10

Petunjuk B digunakan untuk menjawab soal nomor 10 dan 11.
Grafik

$y=px^2 +qx+4 \,$ melalui titik

$(x,y)=(0,4) \,$ untuk semua nilai

$p \,$ dan

$q \,$ . Jika grafik tersebut juga melewati (1,3) dan (2,6) , maka nilai

$3p+q=3 \,$ .
SEBAB

$p =3 \,$ dan

$q = -6$ .

$\spadesuit \,$ Substitusi titik (1,3) dan (2,6) ke

$y=px^2 +qx+4$

$\begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow y & =px^2 +qx+4 \\ 3 & =p.1^2 +q.1+4 \\ p+q & = -1 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(2,6) \rightarrow y & =px^2 +qx+4 \\ 6 & =p.2^2 +q.2+4 \\ 4p+2q & = 2 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2p+q & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} 2p+q = 1 & \\ p+q = -1 & - \\ \hline p = 2 & \end{array}$
pers(i) :

$p+q = -1 \rightarrow 2+q = -1 \rightarrow q = -3$
sehingga nilai

$3p+q = 3.2 + (-3) = 3$

$\spadesuit \,$ Berdasarkan petunjuk B
*) Pernyataan pertama :

$3p + q = 3 \,$ (benar)
*) Pernyataan kedua :

$p = 3 \,$ dan

$q = -6 \,$ salah karena seharusnya nilai

$p = 2 \,$ dan

$q = -3$
Karena pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah, maka berdasarkan petunjuk B jawabannya opsi C.
Jadi, jawabannya C.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu