Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 81 tahun 2008 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 dan 15.
Jika

$\alpha \,$ memenuhi persamaan

$\sin x = \sqrt{2\cos x } \,$ maka
(1).

$\cos \alpha = -1 + \sqrt{2}$
(2).

$\sin \alpha = \sqrt{2 + 2\sqrt{2}}$
(3).

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{-1+\sqrt{2}}$
(4).

$\cos \alpha = 1 - \sqrt{2}$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar
*). identitas trigonometri

$\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$
*). dari bentuk

$\sin x = \sqrt{2\cos x } \,$ , maka nilai

$\sin x \,$ dan

$\cos x \,$ positif.

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$\cos x$

$\begin{align} \sin x & = \sqrt{2\cos x } \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \sin ^2 x & = 2 \cos x \, \, \, \, \text{(gunakan identitas)} \\ 1 - \cos ^2 x & = 2 \cos x \\ \cos ^2 x + 2 \cos x - 1 & = 0 \\ \text{Misalkan } \, p & = \cos x > 0 \\ p^2 + 2 p - 1 & = 0 \, \, \, \, \text{(gunakan rumus ABC)} \\ a = 1, \, b = 2 , \, & \, c = -1 \\ p & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ p & = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4.1.(-1)}}{2.1} \\ p & = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ p & = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ p & = -1 \pm \sqrt{2} \end{align}$
Karena nilai

$\cos x \,$ positif, maka yang memenuhi adalah

$\cos \alpha = \cos x = -1 + \sqrt{2}$

$\clubsuit \,$ Buat segitiga dari

$\cos \alpha = \frac{-1 + \sqrt{2}}{1} = \frac{sa}{mi}$
spmk_ub_3_2008

Dari segitiga di atas diperoleh :

$\begin{align} \sin \alpha & = \frac{de}{mi} = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{1} = \sqrt{2\sqrt{2}-2} \\ \tan \alpha & = \frac{de}{sa} = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{-1 + \sqrt{2}} \end{align}$
Sehingga yang benar adalah pernyataan (1) dan (3), berdasarkan petunjuk C jawabannya B.
Jadi, jawabannya B.

$\heartsuit$

Nomor 12

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 dan 15.
Jika gambar di bawah ini adalah grafik

$y = \frac{df(x)}{dx} \,$ , maka dapat disimpulkan bahawa

$f(x)$

(1). mempunyai nilai minimum lokal pada

$x = -3$
(2). turun pada interval

$x < -3$
(3). mempunyai titik belok pada

$x = 5$
(4). mempunyai nilai maksimum lokal pada

$x = 2$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar turunan

$f^\prime (x) > 0 \rightarrow \,$ fungsi

$f(x) \,$ naik

$f^\prime (x) < 0 \rightarrow \,$ fungsi

$f(x) \,$ turun

$\spadesuit \,$ Dari gambar pada soal, akar-akarnya (titik potong sumbu X) adalah -3 dan 5, artinya

$f^\prime (x) = 0 \,$ akar-akarnya -3 dan 5. Untuk memudahkan menganalisa fungsi aslinya

$f(x) \,$ , kita gambar dulu garis bilangan turunannya

$f^\prime (x)$ .
spmk_ub_4_2008

Keterangan grafik fungsi

$f(x)$ di atas :
*). mempunyai nilai minimum lokal pada

$x = -3$
*). turun pada interval

$x < -3$
*). mempunyai titik belok pada

$x = 5$
sehingga pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).

$\heartsuit$

Nomor 13

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 sampai 15.
Diketahui

${}^2 \log a > 1 \,$ dan

${}^2 \log b > 1, \,$ sedangkan

$a \neq b . \,$ Hubungan antara

$a \,$ dan

$b \,$ yang berlaku adalah .....
(1).

$\frac{a}{b} > 1$
(2).

$\frac{b}{a} > 1$
(3).

$a-b > 1$
(4).

$a.b> 4$

$\clubsuit \,$ Konsep pertidaksamaan logaritma

${}^c \log f(x) > {}^c \log g(x) \rightarrow f(x) > g(x)$
dengan syarat :

$c > 1 \,$ (basisnya > 1)

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$a \,$ dan

$b$

$\begin{align} {}^2 \log a > 1 \rightarrow {}^2 \log a & > {}^2 \log 2 \\ a & > 2 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ {}^2 \log b > 1 \rightarrow {}^2 \log b & > {}^2 \log 2 \\ b & > 2 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$
Dari (i) dan (ii) diperoleh :

$a.b > 2.2 \rightarrow a.b > 4$
sehingga yang benar adalah pernyataan (4), berdasarkan petunjuk C jawabannya D.
Jadi, jawabannya D.

$\heartsuit$

Nomor 14

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 sampai 15.
Jika

$\overline{p} \vee \overline{q} \,$ adalah pernyataan benar, maka
(1).

$\overline{p} \wedge q \,$ benar
(2).

$\overline{q} \Rightarrow p \,$ benar
(3).

$\overline{p} \Leftrightarrow \overline{q} \,$ benar
(4).

$\overline{p} \wedge \overline{q} \,$ salah

$\spadesuit \,$ Tabel kebenaran logika matematika
spmk_ub_5_2008

Keterangan : B = Benar dan S = Salah

$\spadesuit \,$ Untuk menyelesaiakan soal ini, kita langsung menggunakan tabel kebenarannya
spmk_ub_6_2008

$\overline{p} \vee \overline{q} \,$ adalah pernyataan benar, sehingga yang digunakan hanya baris yang nilai

$\overline{p} \vee \overline{q} \,$ juga benar (lihat kolom

$\overline{p} \vee \overline{q} \,$ yang kolomnya dilingkari merah) yaitu baris (i), (ii), dan (iii) yang diberi warna biru.

$\spadesuit \,$ Berdasarkan petunjuk C, yang diinginkan soal : BBBS
Kita cocokkan ketiga baris yang memenuhi, dan kalau ada yang sama maka diinggap benar. Cuma perhatikan 4 kolom yang diberi kotak biru saja, kemudian samakan dengan yang diinginkan soal yaitu : BBBS .
Baris (i) , Hasilnya SBSS , yang sama pernyataan (2) dan (4), bedasarkan petunjuk C jawabannya C
Baris (ii) , Hasilnya BBSS , yang sama pernyataan (1), (2) dan (4), bedasarkan petunjuk C tidak ada jawabannya
Baris (iii) , Hasilnya SSBB , yang sama pernyataan (3) saja, bedasarkan petunjuk C tidak ada jawabannya
Sehingga yang benar dan cocok dengan petunjuk C adalah barisan (i) yang jawabannya C.
Jadi, pernyataan yang sama adalah (2), dan (4), jawabannya C.

$\heartsuit$

Nomor 15

Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 sampai 15.
Interval yang memenuhi pertidaksamaan

$x - 1 \leq \frac{2}{x} \,$ adalah ....
(1).

$x \leq -1$
(2).

$-1 \leq x < 0$
(3).

$0 < x \leq 2$
(4).

$-1 \leq x \leq 2 , \, \, x \neq 0$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaannya

$\begin{align} x - 1 & \leq \frac{2}{x} \\ (x - 1) - \frac{2}{x} & \leq 0 \\ \frac{x(x - 1)-2}{x} & \leq 0 \\ \frac{x^2 - x-2}{x} & \leq 0 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{x} & \leq 0 \\ x = -1 , \, x= 2, \, x & = 0 \end{align}$
spmk_ub_7_2008

Solusinya :

$HP = \{ x \leq -1 \vee 0 < x \leq 2 \}$
Sehingga pernyataan yang benar sesuai dengan solusi di atas adalah pernyataan (1) dan (3), berdasarkan petunjuk C jawabannya B.
Jadi, yang benar pernyataan (1) dan (3), jawabannya B.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu