Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 26 tahun 2014 Nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Jika

$f(x) = 2x - 1$ dan

$g(x) = 2x^2 - 3$ maka

$g\circ f^{-1}(x) = ...$

Definisi :

$y=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y)$
Menetukan

$f^{-1}(x)$ : misal

$y=f(x)$

$\begin{align*} f(x) &= 2x - 1 \\ y&=2x-1\\ x&=\frac{y+1}{2}\\ f^{-1}(x)&=\frac{x+1}{2} \end{align*}$
Menentukan

$g\circ f^{-1}(x)$ (komposisi fungsi), dengan

$g(x) = 2x^2 - 3$ :

$\begin{align*} g\circ f^{-1}(x) &= g \left( f^{-1}(x) \right) \\ &=g \left( \frac{x+1}{2} \right)\\ &=2\left( \frac{x+1}{2} \right)^2 - 3\\ &=\left( \frac{x^2+2x+1}{2} \right) - 3\\ &=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{5}{2} \, \heartsuit \end{align*}$

Nomor 7

Negasi dari pernyataan "jika semua anggota keluarga pergi, maka bibi Ina menyapu halaman" adalah ...

Negasi dari implikasi :

$\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$

$\text{Jika} \, \underbrace{\text{semua }}_{\forall} \, \underbrace{\text{ anggota keluarga pergi}}_{p} \, \text{ maka} \, \\ \underbrace{\text{ bibi Ina menyapu halaman}}_{q}$
Pernyataan di atas dapat ditulis :

$(\forall p \Rightarrow q)$
Sehingga:

$\sim (\forall p \Rightarrow q) \equiv \forall p \wedge \sim q$
Jadi negasinya adalah
Semua anggota keluarga pergi dan bibi Ina tidak menyapu halaman .

$\heartsuit$

Nomor 8

Jika

$n(A)$ menyatakan banyaknya anggota himpunan

$A$ dan diketaui

$n(A \cap B)=x$ ,

$n(A - B) = 2(x^2 + 1)$ ,

$n(B - A) = 9x + 10$ dan

$n(A \cup B) = 40$ maka

$n(A - B) = ...$

Menentukan Rumus

$n(A \cup B)$ :

$\clubsuit \, n(A - B) = n(A) - n(A\cap B) \Leftrightarrow n(A) = n(A-B) + n(A\cap B) \\ \clubsuit \, n(B - A) = n(B) - n(A\cap B) \Leftrightarrow n(B) = n(B-A) + n(A\cap B)$

$\begin{align*} \clubsuit \, n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A\cap B) \\ &=\left[ n(A-B) + n(A\cap B) \right] + \left[ n(B-A) + n(A\cap B) \right] - n(A\cap B)\\ n(A \cup B)&=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B) \, .... \, \text{pers (i)} \end{align*}$
Menentukan nilai

$x$ :

$n(A \cap B)=x$ ,

$n(A - B) = 2(x^2 + 1)$ ,

$n(B - A) = 9x + 10 \,$ dan

$\, n(A \cup B) = 40$

$\begin{align*} n(A \cup B)&=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B) \\ 40 &= 2(x^2 + 1) + (9x + 10) + x \\ 2x^2 + 10x-28 &= 0 \, \text{bagi 2}\\ x^2 + 5x - 14 &= 0\\ (x-2)(x+7) &= 0 \\ x=2 \, \, & \text{atau} \, \, x=-7 \end{align*}$
Karena banyaknya anggota suatu himpunan selalu positif, maka nilai yang memenuhi

$x=2$ .
Sehingga :

$n(A - B) = 2(x^2 + 1) \Leftrightarrow n(A - B) = 2(2^2 + 1) \Leftrightarrow n(A - B) = 10 \, \heartsuit$

Cara II :
Menggunakan diagram venn:
spmk_ub_mat_2014

Dari diagram venn di atas diperoleh total gabungan

$A$ dan

$B$ :

$n(A \cup B)=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B)$
Selanjutnya sama dengan cara 1.

$\heartsuit$

Nomor 9

Himpunan penyelesaian dari

$| 2x - 5 | < | x + 4 |$ adalah ...

Definisi :

$|x| = \sqrt{x^2} \,$ , sehingga

$|x|^2 = x^2$
Pemfaktoran :

$p^2 - q^2 = (p+q)(p-q)$

$\spadesuit \,$ Kedua ruas dikuadratkan :

$\begin{align*} | 2x - 5 | &< | x + 4 | \\ | 2x - 5 |^2 &< | x + 4 |^2 \\ ( 2x - 5 )^2 &< ( x + 4 )^2 \\ ( \underbrace{2x - 5}_{\text{sbg} \, p} )^2 - ( \underbrace{x + 4}_{\text{sbg} \, q })^2 &< 0 \\ (p+q)(p-q)&<0\\ [( 2x - 5 ) + ( x + 4 )][( 2x - 5 )-( x + 4 )]&<0\\ (3x-1)(x-9)&<0\\ x=1/3 \, & \text{atau} \, x=9 \end{align*}$
spmk2_ub_mat_2014

Jadi, HP =

$\{ \frac{1}{3} < x < 9 \} \, \heartsuit$

Nomor 10

Jika

$f(x) = \left( x^2 + 1 \right) cos^2 (x)$ maka

$f^\prime(\pi ) = ...$

Definisi :

$y=UV \Rightarrow y^\prime = U^\prime V + UV^\prime$

$f(x) = \underbrace{\left( x^2 + 1 \right)}_{\text{sbg} \, U} \underbrace{cos^2 (x)}_{\text{sbg} \, V}$

$U=x^2 + 1 \Rightarrow U^\prime = 2x \\ V = cos^2 (x) \Rightarrow V^\prime = 2cosx . (-sinx) \Leftrightarrow V^\prime =-2cosxsinx$
Sehingga :

$\begin{align*} f(x)&=U.V \\ f^\prime(x) &= U^\prime V + UV^\prime \\ f^\prime(x) &= 2x.cos^2 x + \left( x^2 + 1 \right). (-2cosxsinx) \end{align*}$
Substitusi

$x= \pi$ :

$\begin{align*} f^\prime(\pi ) &= 2\pi .cos^2 \pi + \left( \pi^2 + 1 \right). (-2cos\pi sin\pi ) \\ &=2\pi(-1)^2 + \left( \pi^2 + 1 \right).\left( -2.(-1).0 \right) \\ &=2\pi + 0 \\ &=2\pi \end{align*}$
Jadi,

$f^\prime(\pi ) = 2\pi . \, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 26 tahun 2014 Nomor 6 sampai 10

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar