Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 542 tahun 2014 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Misalkan

$l_1 \,$ dan

$l_2 \,$ menyatakan garis yang menyinggung lingkaran

$x^2 + y^2 = r^2 \,$ berturut-turut di

$P_1(x_1,y_1) \,$ dan

$P_2(x_2,y_2) \,$ . Jika

$l_1 \,$ dan

$l_2 \,$ berpotongan di

$(2,-1) \,$ dan titik

$(4,-1) \,$ berada pada garis yang melalui

$P_1 \,$ dan

$P_2 \,$ , maka

$r = .....$

$\clubsuit \,$ Gambar

Dari gambar di atas, garis yang menghubungkan titik

$P_1 \,$ dan

$P_2 \,$ disebut garis kutub(polar) dengan persamaan

$x_1x+y_1y = r^2 \,$ yang dibentuk dari kedua garis singgung lingkaran

$l_1 \,$ dan

$l_2 \,$ yang berpotongan di titik (4,-1).
Persamaan garis kutub dari titik (4,-1) adalah

$x_1x+y_1y = r^2 \rightarrow 4x - y = r^2$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$r \,$ dengan substitusi titik (2,-1) ke persamaan garis kutub (garis kutub melalui titik (2,-1) ).

$\begin{align} (x,y)=(2,-1) \rightarrow 4x - y & = r^2 \\ 4.2 - (-1) & = r^2 \\ 8 + 1 & = r^2 \\ 9 & = r^2 \\ r & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai

$r = 3 . \heartsuit$
Catatan : Dari soal, sebenarnya kedua garis singgung berpotongan di titik (2,-1) , akan tetapi itu tidak mungkin karena gambar lingkarannya akan semakin kecil sehingga garis kutubnya tidak mungkin melalui titik (4,-1). Maka dari itu, kasusnya di balik yaituu kedua garis singgung berpotongan di titik (4,-1) dan garis kutub melalui titik (2,-1) seperti gambar di atas. Ini artinya ada kesalahan pengetikan pada soal.

Nomor 12

Bila

$\sin (40^\circ + x ) = a, \, 0^\circ < x < 45^\circ , \,$ maka

$\cos (70^\circ + x ) = ....$

$\spadesuit \,$ gambar dari

$\sin (40^\circ + x ) = a = \frac{a}{1} = \frac{de}{mi}$

Sehingga nilai

$\cos (40^\circ + x ) = \frac{\sqrt{1-a^2}}{1} = \sqrt{1-a^2}$
Konsep dasar :

$\cos ( A + B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\cos (70^\circ + x )$

$\begin{align} \cos (70^\circ + x ) & = \cos [(30^\circ) + (40^\circ + x) ] \\ = & \cos 30^\circ \cos (40^\circ + x) - \sin 30^\circ \sin (40^\circ + x) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \sqrt{1-a^2} - \frac{1}{2} . a \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{3(1-a^2)} - \frac{1}{2} a \\ \cos (70^\circ + x ) & = \frac{\sqrt{3(1-a^2)} - a}{2} \end{align}$
Jadi, nilai

$\cos (70^\circ + x ) = \frac{\sqrt{3(1-a^2)} - a}{2} . \heartsuit$

Nomor 13

Jika

$A \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right] , \,$ dan

$A \left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -5 \\ -6 \end{matrix} \right] , \,$ maka

$A \left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] = ....$

$\spadesuit \,$ Misalkan matriks

$A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right]$

$\spadesuit \,$ Menentukan matriks

$A \,$ dengan menyelesaikan persamaan

$\begin{align} A \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right] \, \, \, \, \text{(dari pers(i))} \\ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} a \\ c \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right] \\ a =2 \, \text{ dan } \, c & = 4 \\ A \left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} -5 \\ -6 \end{matrix} \right] \, \, \, \, \text{(dari pers(ii))} \\ \left[ \begin{matrix} 2 & b \\ 4 & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} -5 \\ -6 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} -2 + 2b \\ -4 + 2d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} -5 \\ -6 \end{matrix} \right] \\ -2 + 2b = -5 \rightarrow b & = \frac{-3}{2} \\ -4 + 2d = -6 \rightarrow d & = -1 \end{align}$
Sehingga matriks

$A = \left[ \begin{matrix} 2 & \frac{-3}{2} \\ 4 & -1 \end{matrix} \right]$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasil perkaliannya

$\begin{align} A \left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 2 & \frac{-3}{2} \\ 4 & -1 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} 4 & -19 \\ 8 & -26 \end{matrix} \right] \end{align}$
Jadi, nilai

$A \left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 4 & -19 \\ 8 & -26 \end{matrix} \right] . \heartsuit$

Nomor 14

Misalkan

$A(t)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva

$y=bx^2 , 0\leq x \leq t$ . Jika titik

$P(x_0,0)$ sehingga

$A(x_0):A(1)=1:8$ , maka perbandingan luas trapesium

$ABPQ:DCPQ=...$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$A(t)$ :

$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) \\ A(t)& =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$x_0 \,$ dari

$A(x_0):A(1)=1:8$

$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan

$y=bx^2$
titik A :

$x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q :

$x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D :

$x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)

$\spadesuit \,$ Menentukan perbandingan luas

$ABPQ:DCPQ$

$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1}$
Jadi, perbandingan luas

$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit$

Nomor 15

Semua nilai

$x \,$ yang memenuhi pertidaksamaan

${}^{|1-x|} \log (x+5) > 2 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar
Definisi harga mutlak :

$|f(x)|^2 = (f(x))^2$

${}^{f(x)}log [g(x)]=h(x) \,$ syarat logaritma :

$f(x)>0, f(x)\neq 1, g(x)>0$
Pertidaksamaan Logaritma :

${}^{f(x)}log [g(x)] > {}^{f(x)}log [h(x)] \,$ memiliki solusi berdasarkan basisnya
untuk

$0 < f(x) < 1 \,$ solusinya

$g(x) < h(x) \,$ (tanda dibalik)
untuk

$f(x) > 1 \,$ solusinya

$g(x) > h(x) \,$ (tanda tidak dibalik)

$\spadesuit \,$ Menentukan syarat logaritmanya

${}^{|1-x|} \log (x+5) > 2 \,$ memiliki syarat :
syarat basis :

$|1-x| > 0 \rightarrow x \in R , \, x \neq 1$

$|1-x| \neq 1 \rightarrow x \neq 0, \, x \neq 2$
syarat numerus :

$(x+5) > 0 \rightarrow x > -5$
Sehingga syarat totalnya : HP1 =

$\{ x > -5, \, x \neq 0 , \, x \neq 1, \, x \neq 2 \}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan basisnya yang dibagi menjadi dua kasus
*). untuk

$0 < |1-x| < 1 \rightarrow \{ 0 < x < 2 \} \,$ (tanda dibalik)

$\begin{align} {}^{|1-x|} \log (x+5) & > 2 \\ {}^{|1-x|} \log (x+5) & > {}^{|1-x|} \log |1-x|^2 \\ (x+5) & < |1-x|^2 \\ (x+5) & < (1-x)^2 \\ x + 5 & < x ^2 -2x + 1 \\ -x^2 + 3x + 4 & < 0 \\ (-x + 4)(x + 1 ) & < 0 \\ x = 4 \vee x & = -1 \end{align}$

pada garis bilangan yang diminta negatif ( < 0 ), solusinya

$\{ x < -1 \vee x > 4 \}$
dari

$\{ 0 < x < 2 \} \,$ dan

$\{ x < -1 \vee x > 4 \} \,$ maka pada kasus ini tidak ada nilai

$x \,$ yang memenuhi.
**). untuk

$|1-x| > 1 \rightarrow \{ x < 0 \vee x > 2 \} \,$ (tanda tidak dibalik)

$\begin{align} {}^{|1-x|} \log (x+5) & > 2 \\ {}^{|1-x|} \log (x+5) & > {}^{|1-x|} \log |1-x|^2 \\ (x+5) & > |1-x|^2 \\ (x+5) & > (1-x)^2 \\ x + 5 & > x ^2 -2x + 1 \\ -x^2 + 3x + 4 & > 0 \\ (-x + 4)(x + 1 ) & > 0 \\ x = 4 \vee x & = -1 \end{align}$