Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 542 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Vektor-vektor

$u , \, v , \,$ dan

$x \,$ tidak nol. Vektor

$u+v \,$ tegak lurus

$u - x \,$ , jika ....
(A)

$|u+v| = |u-v|$
(B)

$|v| = |x|$
(C)

$u.u = v.v, \, v = -x$
(D)

$u.u = v.v, \, v = x$
(E)

$u.v = v.v$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar : vektor

$a \,$ tegak lurus vektor

$b \,$ , maka

$a . b = 0$

$\spadesuit \,$ Vektor

$u+v \,$ tegak lurus

$u - x \,$ , sehingga perkalian dot nya = 0

$\begin{align} (u+v).(u-x) & = 0 \\ u.u - u.x + u.v - v.x & = 0 \\ (u.u - v.x) + (u.v - u.x) & = 0 \\ \text{ agar nilainya nol, maka } & \\ (u.v - u.x) = 0 \, \text{ dan } & (u.u - v.x) = 0 \\ \text{ menyelesaikan kedua} \, & \, \text{persamaan } \\ (i). \, \, (u.v - u.x) & = 0 \\ u(v-x) & = 0 \\ u = 0 \vee v & = x \\ \text{karena } \, u \neq 0 , \, \text{ sehingga } & \text{ yang memenuhi } \, v = x \\ (ii). \, \, (u.u - v.x) & = 0 \\ u.u & = v.x \, \, \, \, \text{(substitusi} \, v = x ) \\ u.u & = v.v \end{align}$
Sehingga diperoleh :

$u.u = v.v \,$ dan

$v = x$
Jadi,

$u+v \,$ tegak lurus

$u - x \,$ jika

$u.u = v.v \,$ dan

$v = x . \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui

$a, \, a+b, \,$ dan

$4a + b \,$ merupakan 3 suku berurutan suatu barisan aritmetika. Jika

$a, \, a+b, \, 4a + b + 9 \,$ merupakan suatu barisan geometri, maka

$a + b = ....$

$\spadesuit \,$ Barisan aritmetika :

$a, \, a+b, \,$ dan

$4a + b \,$
Selisih sama :

$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ 2(u_2) & = u_1 + u_3 \\ 2(a+b) & = a + ( 4a + b ) \\ b & = 3a \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Barisan geometri :

$a, \, a+b, \, 4a + b + 9$
Rasio sama dan nilai

$a \neq 0 \,$ :

$\begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1.u_3 \\ (a+b)^2 & = (a) . (4a+b+9) \, \, \, \text{ (subst. } \, b = 3a ) \\ (a+3a)^2 & = (a) . (4a+3a+9) \\ (4a)^2 & = (a) . (7a+9) \\ 16a^2 & = 7a^2 + 9a \\ 9a^2 - 9a & = 0 \\ 9a(a-1) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 1 \\ \text{ dari pers(i) , } & \text{ diperoleh } \\ a = 0 \rightarrow b & = 3a = 3.0 = 0 \, \text{(tidak memenuhi)} \\ a = 1 \rightarrow b & = 3a = 3.1 = 3 \, \text{(memenuhi)} \end{align}$
Sehingga nilai

$a + b = 1 + 3 = 4$
Jadi, nilai

$a + b = 4 . \heartsuit$

Nomor 8

Jika

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{Ax+B} - 2 }{x } = 1, \,$ maka ....
(A)

$B = A^2$
(B)

$4B^2 = A$
(C)

$4B = A^2$
(D)

$4B = A$
(E)

$A + B = 0$

$\clubsuit \,$ Konsep penerapan turunan pada limit tak tentu

$\displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} \,$ sampai hasilnya tidak

$\frac{0}{0}$
Konsep Turunan :

$y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan limitnya dengan turunan

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{Ax+B} - 2 }{x } & = 1 \, \, \, \text{ (diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{A}{2\sqrt{Ax+B}} }{1 } & = 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{A}{2\sqrt{Ax+B}} & = 1 \\ \frac{A}{2\sqrt{A.0+B}} & = 1 \\ \frac{A}{2\sqrt{B}} & = 1 \\ A & = 2\sqrt{B} \, \, \, \text{ (kuadratkan)} \\ A^2 & = 4B \end{align}$
Jadi, diperoleh

$A^2 = 4B . \heartsuit$

Nomor 9

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis

$x=-2$ , dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis

$4x+y=4$ . Titik puncak parabola tersebut adalah ...

$\clubsuit \,$ Misalkan persamaan fungsinya ,

$y=f(x)=ax^2+bx+c$ . Dengan titik puncak

$(x_p,y_p) \, \,$ :

$x_p=-\frac{b}{2a}$ dan

$y_p=f(x_p)$ , serta

$f^\prime(x)=2ax+b$ .

$\clubsuit \,$ Sumbu simetrinya

$x=-2 \,$ dengan

$x=x_p$ :

$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \,$ ...pers(i)

$\clubsuit \,$ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:

$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=ax^2+bx+1$

$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung sejajar dengan garis

$4x+y=4$ , artinya gradiennya sama dengan gradien garis

$4x+y=4\,$ yaitu

$m=-4$ .

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):

$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) :

$b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=-x^2-4x+1$

$\clubsuit \,$ Menentukan titik puncak:

$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$ .
Jadi, titik puncaknya adalah

$(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$

Nomor 10

Diketahui

$P \,$ dan

$Q \,$ suatu polinomial sehingga

$P(x)Q(x) \,$ dibagi

$x^2 - 1 \,$ bersisa

$3x + 5 . \,$ Jika

$Q(x) \,$ dibagi

$x-1 \,$ bersisa 4, maka

$P(x) \,$ dibagi

$x-1 \,$ bersisa ....

$\spadesuit \,$ Teorema sisa :

$\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi

$x=a\,$ ke

$f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
Suatu fungsi habis dibagi, artinya sisanya = 0 .
Pembagian Polinomial :

$P(x)Q(x) : x^2 - 1 = (x-1)(x+1), \,$ sisa =

$3x + 5 \,$ , artinya

$P(1)Q(1) = 3.1 + 5 \rightarrow P(1)Q(1) = 8 \,$ ....pers(i)

$Q(-1)f(-1) = 3.(-1) + 5 \rightarrow P(-1)Q(-1) = 2 \,$ ....pers(ii)

$Q(x) : (x-1), \,$ sisa = 4 , artinya

$Q(1) = 4 \,$ ....pers(iii)

$\spadesuit \,$ Substitusi Pers(iii) ke pers(i) diperoleh

$P(1)Q(1) = 8 \rightarrow P(1) . 4 = 8 \rightarrow P(1) = 2 \,$ ....pers(iv)
Sehingga

$P(x) : (x-1), \,$ maka sisanya =

$P(1) = 2$
Jadi, sisanya adalah

$2 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu